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L'INCONTOURNABLE DU CHAPITRE

Exercice - Puissances d'un nombre complexe



L'énoncé

On considère le nombre complexe \[a = e^{i\frac{2\pi}{5}}\]
  • Question 1

    Vérifier que \(a^5 = 1\).

  • Question 2

    Vérifier que, pour tout \(z\) complexe : \(z^5-1=(z-1)(1+z+z^2+z^3+z^4)\)

  • Question 3

    En déduire que \(1 + a + a^2 + a^3 + a^4 = 0\).

  • Question 4

    Montrer que \(a^3 = \overline{a}^2\) et que \(a^4 = \overline{a}\).

  • Question 5 En déduire que \((a+\overline{a})^2+(a+\overline{a})-1=0\).
  • Question 6

    Résoudre, dans \(\mathbb{R}\), l'équation \(4x^2 + 2x -1 = 0\).

  • Question 7

    Calculer \((a+\overline{a})\) à l'aide de la formule d'Euler et en déduire la valeur exacte de \(\cos\left( \frac{2\pi}{5} \right)\) .

  • Question 8

    Placer les points \(A\), \(B\), \(C\) , \(D\) et \(E\) d'affixes respectifs : \( 1 ; a ; a^2 ; a^3 \text{ et } a^4 \) dans le plan complexe.

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