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L'INCONTOURNABLE DU CHAPITRE

Exercice d'application


Nombres complexes

  • Exercice : Nombres complexes

    On note $\mathbb{C}$ l'ensemble des nombres complexes. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{u},\vec{v})$. On prendra comme unité $2$ cm sur chaque axe.

    Le graphique sera fait sur une feuille de papier millimétré et complété au fur et à mesure des questions. On considère la fonction $f$ qui à tout nombre complexe $z$ associe :

    $f(z) = z^2 + 2z +9$.

     

    1) Calculer l'image de $-1+ i \sqrt3$ par la fonction $f$.

     

    2) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $f(z) = 5$.

    Écrire sous forme exponentielle les solutions de cette équation. Construire alors sur le graphique, à la règle et au compas; les points $A$ et $B$ dont l'affixe est solution de l'équation ($A$ étant le point dont l'affixe a une partie imaginaire positive).

    On laissera les traits de construction apparents.

     

    3) Soit $1$ un nombre réel. On considère l'équation $f(z) = 1$ d'inconnue $z$.

    Déterminer l'ensemble des valeurs de $1$ pour lesquelles l'équation $f(z) =1$ admet deux solutions complexes conjuguées.

     

    4) Soit $(F)$ l'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe $z$ vérifie : $\mid f(z) - 8\mid = 3$.

    Prouver que $(F)$ est le cercle du centre $\Omega(-1;0)$ et de rayon $\sqrt3$. Tracer $(F)$ sur le graphique.

     

    5) Soit $z$ un nombre complexe, tel que $z = x + iy$ où $x$ et $y$ sont des nombres réels.

    a) Montrer que la forme algébrique de $f(z)$ est : $x^2-y^2 + 2x + 9 + i (2xy +2y)$.

    b) On note $(E)$ l'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe $z$ est telle que $f(z)$ soit un nombre réel.

    Montrer que $(E)$ est la réunion de deux droites $D_1$ et $D_2$ dont on précisera les équations.

    Compléter le graphique de l'annexe en traçant ces droites.

     

    6) Déterminer les coordonnées des points d'intersection des ensembles $(E)$ et $(F)$.

     

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