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FORMULE DE MOIVRE

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Nombre complexes, Formule de Moivre

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Les formules de Moivre (Abraham de Moivre : 1667 - 1754)

 

Propriété : 

 

$\forall n\in\mathbb{Z},\;\forall x\in\mathbb{R}$

$(cos(x)+isin(x))^n=cos(nx)+isin(nx)$

 

Démonstration :

 

Démontrons ce résultat par récurrence, en commençant à $n=1$ : nous traiterons le cas $n=0$ à part.

Initialisation :

Pour n=1 : on a directement $(cos(x)+isin(x))^1=cos(1\times x)+isin(1\times x)$

 

Hérédité :

Soit $ k\in\mathbb{N^*}$. On suppose que le prédicat est vraie pour n=k : $(cos(x)+isin(x))^k=cos(kx)+isin(kx)$ (on appelle cette formule l’hypothèse de récurrence)

Montrons que le prédicat est vrai pour n=k+1 :

$(cos(x)+isin(x))^{k+1}=(cos(x)+isin(x))^{k}( cos(x)+isin(x))$

Par hypothèse de récurrence :

$(cos(x)+isin(x))^{k+1} =(cos(kx)+isin(kx))( cos(x)+isin(x))$

$(cos(x)+isin(x))^{k+1}=cos(x)cos(kx)-sin(x)sin(kx)+i(cos(kx)sin(x)+sin(kx)cos(x))$

 

On utilise ensuite la formule de trigonométrie de 1ère :

$cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)$

$sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a)$

On obtient donc:

$(cos(x)+isin(x))^{k+1}=cos((k+1)x)+isin((k+1)x)$

 

Donc par le principe de récurrence :

$\forall n\in\mathbb{N^*},\; (cos(x)+isin(x))^n=cos(nx)+isin(nx)$

 

Vérifions maintenant le cas n=0 :

$(cos(x)+isin(x))^0=1$

$cos(0.x)+isin(0.x)=cos(0)+isin(0)=1$

 

Nous avons traité le cas des n positifs, occupons-nous maintenant au n négatifs :

Soit $n\in\mathbb{Z_{-}^*}$ on pose m=-n de manière à se ramener au cas précédent : $m\in\mathbb{N}$

$(cos(x)+isin(x))^n=(cos(x)+isin(x))^{-m}=\frac{1}{(cos(x)+isin(x))^m}$

On utilise la formule de Moivre démontrée plus haut :

$(cos(x)+isin(x))^{-m}=\dfrac{1}{cos(mx)+isin(mx)}$

On multiplie en haut et en bas par la quantité conjuguée :

$(cos(x)+isin(x))^{-m}=\dfrac{ cos(mx)-isin(mx)}{cos^2(mx)+sin^2(mx)}$

Le dénominateur vaut 1 :

$(cos(x)+isin(x))^{-m}=cos(mx)-isin(mx)$

Par parité du cosinus et imparité du sinus :

$(cos(x)+isin(x))^{-m}=cos(-mx)+isin(-mx)$

 

Au final on obtient :

$(cos(x)+isin(x))^n= cos(nx)+isin(nx)$

On a donc démontré la formule de Moivre pour tout entier.

 

Exemples :

 

Regardons maintenant différentes applications :

$(cos(x)+isin(x))^3= cos(3x)+isin(3x)$

Par identité remarquable :

$(cos(x)+isin(x))^3= cos^3(x)+3icos^2(x)sin(x)-3cos(x)sin^2(x)-isin^3(x)$

On regroupe partie réelle et imaginaire:

$=(cos^3(x)- 3cos(x)sin^2(x)+i(3cos^2(x)sin(x) )-sin^3(x))$

On identifie partie réelle et partie imaginaire:

$cos^3(x)=cos^3(x)- 3cos(x)sin^2(x)= cos^3(x)- 3cos(x)(1-cos^2(x))=4cos^3(x)-3cos(x)$

$sin^3(x)=3cos^2(x)sin(x) )-sin^3(x)=3sin(x)-4sin^3(x)$

 

Il est maintenant possible de généraliser ce résultat :

Soit $n\in\mathbb{N}\;\;cos(nx)+isin(nx)=(cos(x)+isin(x))^n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}cos^{n-k}(x)(isin(x))^k$

On identifie les parties réelles et imaginaires :

$(isin(x))^k$ est réel que si k est pair, ie k=2p.

La partie réelle d’une somme est égale à la somme des parties réelles. Donc en identifiant

$cos(nx) =\displaystyle\sum_{0\leqslant 2p\leqslant n} \binom{n}{2p}cos^{n-2p}(x)i^{2p}sin^{2p}(x)$

$ cos(nx) =\displaystyle\sum_{0\leqslant 2p\leqslant n} \binom{n}{2p}cos^{n-2p}(x)(-1)^{p}(1-cos^2(x))^{p}$

On trouve donc un polynôme en cos(x) :

$cos(nx)=T_n(cos x)$ avec $T_n=\displaystyle\sum_{0\leqslant 2p\leqslant n} \binom{n}{2p}X^{n-2p}(-1)^{p}(1-X^2)^{p}$

 

Il s’agit des polynômes de Tchebytchev (1821 – 1894).

On obtient donc :

$T_0=1\;\;T_1=X\;\;T_2=2X^2-1\;\;T_3=4X^3-3X$

Il est facile de démontrer que :

$\forall n \geqslant 1 : \ ; T_{n+1}=2XT_n-T_{n-1}$