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Définition, notation algébrique, conjugué
Exercice - Écriture algébrique, conjugués
L'énoncé
On donne \(z = 3 +\sqrt{3}i\) et \(z' = -1+2i\)
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Astuces
- Il convient de remplacer \(z\) et \(z’\) par les expressions données dans l’énoncé.
- Si \(z = x+iy\) alors \(\overline{z} = x – iy\). C’est la définition du conjugué d’un nombre complexe.
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Correction
\(z_1 = z - \overline{z'}\)
\(z_1 = 3 + \sqrt{3}i-(-1-2i)\)
\(z_1 = 3+\sqrt{3}i+1+2i\)
\(z_1 = 4+(\sqrt{3}+2)i\)
Explications :
- Est-ce lié à des difficultés sur la notion de partie réelle et partie imaginaire ?
- Avez-vous compris la notion de conjugué d’un nombre complexe ?
-
Astuces
- Utiliser les propriétés du conjugué : \(z.z¯=|z|^2\).
- Il convient de remplacer z par l'expression donnée dans l’énoncé.
- Ensuite ce n'est que du calcul.
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Correction
\(z_2 = z.\overline{z}\)
\(z_2 = |z|^2\)
\(z_2 = |3+\sqrt{3}i|^2\)
\(z_2 = 3^2+(\sqrt{3})^2 = 12\)
Explications :
- Avez-vous compris la notion de conjugué d’un nombre complexe ?
- Avez-vous su élever au carré le nombre proposé ?
- Avez-vous pensé que \(i^2 = -1\) ?
-
Astuces
- Il convient de remplacer z par l'expression donnée dans l’énoncé.
- Regroupez les parties réelles ensemble. Même chose pour les parties imaginaires. Mettez i en facteur.
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Correction
\(z_3 = z^2\)
\(z_3 = (3+\sqrt{3}i)^2\)
\(z_3 = 3^2+2\times3\times\sqrt{3}i+(\sqrt{3}i)^2\)
\(z_3 = 9+6\sqrt{3}i+(\sqrt{3})^2(i)^2=9+6\sqrt{3}i-3\)
\(z_3 = 6+6\sqrt{3}i\)
Explications :
- Avez-vous su élever au carré le nombre proposé ?
- Est-ce lié à des difficultés sur la notion de partie réelle et partie imaginaire ?
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Astuces
- Il convient de remplacer z' par l'expression donnée dans l’énoncé.
- Regroupez les parties réelles ensemble. Même chose pour les parties imaginaires. Mettez i en facteur.
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Correction
\(z_4 = z'^3\)
\(z_4 = (-1+2i)^3\)
\(z_4 = (-1)^3+3\times(-1)^2\times(2i)+3\times(-1)^1\times(2i)^2+(2i)^3\)
\(z_4 = -1+6i-3\times(-4)+8i^3\)
\(z_4 = -1+6i+12+8i\times{i^2}\)
\(z_4 = -1+6i+12-8i\)
\(z_4 = 11-2i\)
Explications :
- Avez-vous su élever au cube le nombre proposé ?
- Avez-vous pensé que \(i^2 = -1\) ?
- Est-ce lié à des difficultés sur la notion de partie réelle et partie imaginaire ?
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Astuces
Il convient de remplacer $z$ et $z'$ par les expressions données dans l’énoncé.
Il faut se débrouiller pour ne plus avoir de partie imaginaire au dénominateur.
On multiplie pour cela le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée du dénominateur.
Regroupez les parties réelles ensemble. Même chose pour les parties imaginaires. Mettez i en facteur.
Correction
\(z_5 = \dfrac{z}{z'}\)
\(z_5 = \dfrac{3+\sqrt{3}i}{-1+2i}\)
\(z_5 = \dfrac{(3+\sqrt{3}i)(-1-2i)}{(-1+2i)(-1-2i)}\)
\(z_5 = \dfrac{-3-3 \times 2i-\sqrt{3}i-2\sqrt{3}i^2}{(-1)^2-(2i)^2}\)
\(z_5 = \dfrac{-3-6i-\sqrt{3}i+2\sqrt{3}}{1-(-4)}\)
\(z_5 = \dfrac{2\sqrt{3}-3-i(6+\sqrt{3})}{5}\)
\(z_5 = \dfrac{2\sqrt{3}-3}{5}-i\dfrac{6+\sqrt{3}}{5}\)
Explications :
Avez-vous su utiliser la quantité conjuguée ?
Avez-vous pensé que \(i^2 = -1\) ?
Est-ce lié à des difficultés sur la notion de partie réelle et partie imaginaire ?
Définition, notation algébrique, conjugué
9 éléments
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1 |
Définition des nombres complexes
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2 |
Définition des nombres complexes- Exercice
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3 |
Égalité de complexes, conjugué, opérations élémentaires
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4 |
QCM - Nombres complexes, opérations élémentaires, conjugués
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5 |
Nombres complexes : Conjugué d'un produit, d'un inverse, d'une puissance, démonstration
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6 |
Exercice - Écriture algébrique, conjugués
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7 |
Égalité de complexes, conjugué, opérations élémentaires - Exercice 1
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8 |
Égalité de complexes, conjugué, opérations élémentaires- Exercice 2
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Définition, notation algébrique, conjugué
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