Terminale > Mathématiques expertes > Nombres complexes, point de vue algébrique et géométrique > Définition, notation algébrique, conjugué

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DÉFINITION, NOTATION ALGÉBRIQUE, CONJUGUÉ (Accès libre)

Exercice - Écriture algébrique, conjugués



L'énoncé

On donne \(z = 3 +\sqrt{3}i\) et \(z' = -1+2i\)

  • Question 1

    Ecrire sous forme algébrique : \(z_1 = z - \overline{z'}\).
    Astuces
    • Il convient de remplacer \(z\) et \(z’\) par les expressions données dans l’énoncé.
    • Si \(z = x+iy\) alors \(\overline{z} = x – iy\). C’est la définition du conjugué d’un nombre complexe.
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    Correction

    \(z_1 = z - \overline{z'}\)
    \(z_1 = 3 + \sqrt{3}i-(-1-2i)\)
    \(z_1 = 3+\sqrt{3}i+1+2i\)
    \(z_1 = 4+(\sqrt{3}+2)i\)

    Explications :

    • Est-ce lié à des difficultés sur la notion de partie réelle et partie imaginaire ?
    • Avez-vous compris la notion de conjugué d’un nombre complexe ?
  • Question 2

    Ecrire sous forme algébrique : \(z_2 = z . \overline{z}\).
    Astuces
    • Utiliser les propriétés du conjugué : \(z.z¯=|z|^2\).
    • Il convient de remplacer z par l'expression donnée dans l’énoncé.
    • Ensuite ce n'est que du calcul.
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    Correction

    \(z_2 = z.\overline{z}\)
    \(z_2 = |z|^2\)
    \(z_2 = |3+\sqrt{3}i|^2\)
    \(z_2 = 3^2+(\sqrt{3})^2 = 12\)

    Explications :

    • Avez-vous compris la notion de conjugué d’un nombre complexe ?
    • Avez-vous su élever au carré le nombre proposé ?
    • Avez-vous pensé que \(i^2 = -1\) ?
  • Question 3

    Ecrire sous forme algébrique : \(z_3 = z^2\).
    Astuces
    • Il convient de remplacer z par l'expression donnée dans l’énoncé.
    • Regroupez les parties réelles ensemble. Même chose pour les parties imaginaires. Mettez i en facteur.
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    Correction

    \(z_3 = z^2\)
    \(z_3 = (3+\sqrt{3}i)^2\)
    \(z_3 = 3^2+2\times3\times\sqrt{3}i+(\sqrt{3}i)^2\)
    \(z_3 = 9+6\sqrt{3}i+(\sqrt{3})^2(i)^2=9+6\sqrt{3}i-3\)
    \(z_3 = 6+6\sqrt{3}i\)

    Explications :

    • Avez-vous su élever au carré le nombre proposé ?
    • Est-ce lié à des difficultés sur la notion de partie réelle et partie imaginaire ?
  • Question 4

    Ecrire sous forme algébrique les complexes suivants : \(z_4 = z'^3\).
    Astuces
    • Il convient de remplacer z' par l'expression donnée dans l’énoncé.
    • Regroupez les parties réelles ensemble. Même chose pour les parties imaginaires. Mettez i en facteur.
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    Correction

    \(z_4 = z'^3\)
    \(z_4 = (-1+2i)^3\)
    \(z_4 = (-1)^3+3\times(-1)^2\times(2i)+3\times(-1)^1\times(2i)^2+(2i)^3\)
    \(z_4 = -1+6i-3\times(-4)+8i^3\)
    \(z_4 = -1+6i+12+8i\times{i^2}\)
    \(z_4 = -1+6i+12-8i\)
    \(z_4 = 11-2i\)

    Explications :

    • Avez-vous su élever au cube le nombre proposé ?
    • Avez-vous pensé que \(i^2 = -1\) ?
    • Est-ce lié à des difficultés sur la notion de partie réelle et partie imaginaire ?
  • Question 5

    Ecrire sous forme algébrique les complexes suivants : \(z_5 = \dfrac{z}{z'}\).
    Astuces

    • Il convient de remplacer $z$ et $z'$ par les expressions données dans l’énoncé.

    • Il faut se débrouiller pour ne plus avoir de partie imaginaire au dénominateur.

    • On multiplie pour cela le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée du dénominateur.

    • Regroupez les parties réelles ensemble. Même chose pour les parties imaginaires. Mettez i en facteur.

    Correction

    \(z_5 = \dfrac{z}{z'}\)

    \(z_5 = \dfrac{3+\sqrt{3}i}{-1+2i}\)

    \(z_5 = \dfrac{(3+\sqrt{3}i)(-1-2i)}{(-1+2i)(-1-2i)}\)

    \(z_5 = \dfrac{-3-3 \times 2i-\sqrt{3}i-2\sqrt{3}i^2}{(-1)^2-(2i)^2}\)

    \(z_5 = \dfrac{-3-6i-\sqrt{3}i+2\sqrt{3}}{1-(-4)}\)

    \(z_5 = \dfrac{2\sqrt{3}-3-i(6+\sqrt{3})}{5}\)

    \(z_5 = \dfrac{2\sqrt{3}-3}{5}-i\dfrac{6+\sqrt{3}}{5}\)

    Explications :

    • Avez-vous su utiliser la quantité conjuguée ?

    • Avez-vous pensé que \(i^2 = -1\) ?

    • Est-ce lié à des difficultés sur la notion de partie réelle et partie imaginaire ?

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