1) $(2 + 3i) + (-3 + 2i) = 2 + 3i - 3 + 2i$
$(2 + 3i) + (-3 + 2i) = 2 - 3 + 3i + 2i$
$(2 + 3i) + (-3 + 2i) = -1 + 5i$
2) $(3 + i)(-2 -3i) = -6 - 9i - 2i + 3$
$(3 + i)(-2 -3i) = -3 - 11i$
3) $(2 + 4i)(2 - 4i) = 4 - 8i + 8i + 16$
$(2 + 4i)(2 - 4i) = 20$
La multiplication d'un complexe par son conjugué donne toujours un réel.
4) Pour se débarrasser du $i$ au dénominateur, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le complexe conjugué de $(3 + i)$, c'est-à-dire par $(3 - i)$.
$\dfrac{1}{3+i}=\dfrac{1(3 - i)}{(3+i)(3 - i)}$
$\dfrac{1}{3+i}=\dfrac{3 - i}{3^2 - i^2}$
$\dfrac{1}{3+i}=\dfrac{3 - i}{10}$
$\dfrac{1}{3+i}=\dfrac{3}{10}-\dfrac{1}{10} \times i$
5) $\overline{(5 - 2i)(-2 + 3i)}=\overline{(5 - 2i)}\times\overline{(-2 + 3i)}$ d’après une propriété du cours.
$\overline{(5 - 2i)(-2 + 3i)}=(5 + 2i) (2 - 3i)$
$\overline{(5 - 2i)(-2 + 3i)}=-4-19i$
6) $\text{(D'après le cours)}$ :
$(5 + i)(5 - i)=5^2 + 1^2=26$
7) On applique la formule des égalités remarquables : $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$
$(2 + 3i)^2 = (2)^2 + (3i)^2 + 2\times 2\times 3i$
$(2 + 3i)^2 = 4 - 9 + 12i$
$(2 + 3i)^2 =-5 + 12i$
8) Pour supprimer le i du dénominateur, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le complexe conjugué, c'est-à-dire $-i$.
$\dfrac{1}{i}=\dfrac{1 \times (-i)}{i \times (-i)}$
$\dfrac{1}{i}=\dfrac{-i}{-i^2}$
$\dfrac{1}{i}=-i$
On retrouve la forme $z = a + bi$ avec $a = 0$ et $b = -1$.
9) $i\overline{z}=5-3i$
Donc $\overline{z}=\dfrac{5-3i}{i}$
$\overline{z}=\dfrac{(5-3i)i}{i \times i}$
$\overline{z}=\dfrac{5i-3i^2}{-1}$
$\overline{z}=-5i-3$
Et finalement : $z=-3+5i$