DÉFINITION, NOTATION ALGÉBRIQUE, CONJUGUÉ (Accès libre)

Nombres complexes

• Exercice : Nombres complexes

  Voici 9 questions indépendantes et faciles pour se familiariser avec la notation algébrique des nombres complexes :

  1) Calculer $(2 + 3i) + (-3 + 2i)$.

  2) Calculer $(3 + i)(-2 -3i)$.

  3) Calculer $(2 + 4i)(2 - 4i)$.

  4) Modifier $\dfrac{1}{3+i}$ pour obtenir un nombre complexe sous la forme $z = a + bi$.

  5) Calculer $\overline{(5-2i)(-2+3i)}$

  6) Calculer $(5 + i)(5 - i)$.

  7) Calculer $(2 + 3i)^2$.

  8) Ecrire $\dfrac{1}{i}$ sous la forme $z = a + bi$.

  9) On sait que $i\overline{z}=5-3i$. Que vaut $z$ ?

   

   

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  Correction

  1) $(2 + 3i) + (-3 + 2i) = 2 + 3i - 3 + 2i$

  $(2 + 3i) + (-3 + 2i) = 2 - 3 + 3i + 2i$

  $(2 + 3i) + (-3 + 2i) = -1 + 5i$

   

  2) $(3 + i)(-2 -3i) = -6 - 9i - 2i + 3$

  $(3 + i)(-2 -3i) = -3 - 11i$

   

  3) $(2 + 4i)(2 - 4i) = 4 - 8i + 8i + 16$

  $(2 + 4i)(2 - 4i) = 20$

  La multiplication d'un complexe par son conjugué donne toujours un réel.

   

  4) Pour se débarrasser du $i$ au dénominateur, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le complexe conjugué de $(3 + i)$, c'est-à-dire par $(3 - i)$.

  $\dfrac{1}{3+i}=\dfrac{1(3 - i)}{(3+i)(3 - i)}$

  $\dfrac{1}{3+i}=\dfrac{3 - i}{3^2 - i^2}$

  $\dfrac{1}{3+i}=\dfrac{3 - i}{10}$

  $\dfrac{1}{3+i}=\dfrac{3}{10}-\dfrac{1}{10} \times i$

   

  5) $\overline{(5 - 2i)(-2 + 3i)}=\overline{(5 - 2i)}\times\overline{(-2 + 3i)}$  d’après une propriété du cours.

  $\overline{(5 - 2i)(-2 + 3i)}=(5 + 2i) (2 - 3i)$

  $\overline{(5 - 2i)(-2 + 3i)}=-4-19i$

   

  6) $\text{(D'après le cours)}$ :

  $(5 + i)(5 - i)=5^2 + 1^2=26$

   

  7) On applique la formule des égalités remarquables : $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$

  $(2 + 3i)^2 = (2)^2 + (3i)^2 + 2\times 2\times 3i$

  $(2 + 3i)^2  = 4 - 9 + 12i$

  $(2 + 3i)^2 =-5 + 12i$

   

  8) Pour supprimer le i du dénominateur, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le complexe conjugué, c'est-à-dire $-i$.

  $\dfrac{1}{i}=\dfrac{1 \times (-i)}{i \times (-i)}$

  $\dfrac{1}{i}=\dfrac{-i}{-i^2}$

  $\dfrac{1}{i}=-i$

  On retrouve la forme $z = a + bi$ avec $a = 0$ et $b = -1$.

   

  9) $i\overline{z}=5-3i$

  Donc $\overline{z}=\dfrac{5-3i}{i}$

  $\overline{z}=\dfrac{(5-3i)i}{i \times i}$

  $\overline{z}=\dfrac{5i-3i^2}{-1}$

  $\overline{z}=-5i-3$

  Et finalement : $z=-3+5i$

   

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