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RÉSOLUTIONS D'ÉQUATIONS

Exercice - Polynôme de degré 4



L'énoncé

On considère le polynôme P défini par : \(P(z) = z^4-6z^3+24z^2-18z+63\)


  • Question 1

    Calculer \(P(i\sqrt{3})\) et \(P(-i\sqrt{3})\).
    Montrez ensuite qu'il existe un polynôme \(Q\) du second degré à coefficients réels, que l'on déterminera, tel que, pour tout \(z \in \mathbb{C}\), on ait :

    \(P(z)=(z^2+3)Q(z)\)

  • Question 2

    Résoudre dans \(\mathbb{C}\), l'équation \(P(z) = 0\).

  • Question 3

    Placer dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal \((O;\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})\), les points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) d'affixes respectives :
    \(z_A = i\sqrt{3}\), \(z_B = -i\sqrt{3}\), \(z_C = 3+2i\sqrt{3}\) et \(z_D = \overline{z_C}\)
    Montrer que ces quatre points appartiennent à un même cercle.

  • Question 4

    On note \(E(z_E)\) le symétrique de \(D\) par rapport à \(O\).
    Montrer que \(\dfrac{z_C-z_B}{z_E-z_B}=e^{-i\frac{\pi}{3}}\)

    En déduire la nature du triangle \(BEC\).

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