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STAGE - NOMBRES COMPLEXES DE MODULE 1

Exercice - Ensemble $\mathbb{U}$ des nombres complexes de module 1



L'énoncé

On veut montrer l'énoncé suivant :

Soit $z \in \mathbb{U}$,
Alors $|1 + z| \geq 1$ ou $\left |1 + z^2 \right| \geq 1$.

Pour cela, répondre aux questions suivantes. 


  • Question 1

    Donner le tableau de variations de la fonction $x \mapsto |\cos(x)|$ pour $x \in [0, 2 \pi [$. 

  • Question 2

    Trouver les solutions de l'inéquation $ |\cos \left ( x \right ) | \geq  \dfrac{1}{2}$ pour $x \in [0, 2\pi[$.

  • Question 3

    En déduire les solutions de l'inéquation $\left |\cos \left ( \dfrac{x}{2} \right ) \right| \geq  \dfrac{1}{2}$ pour $x \in [0, 2\pi[$.

  • Question 4

    Rappeler l'expression de $\cos(x)$ et $\sin(x)$ en fonction de l'exponentielle complexe. 

  • Question 5

    Soit $z \in \mathbb{U}$, 
    Montrer qu'il existe $\theta \in [0, 2\pi[$ tel que $|1 + z| = \left | e^{-i\frac{\theta}{2}} + e^{i\frac{\theta}{2}} \right |$

  • Question 6

    Soit $z \in \mathbb{U}$, 
    Montrer de même qu'il existe $\theta \in [0, 2\pi[$ tel que $|1 + z^2| = \left | e^{-i\theta} + e^{i\theta} \right |$

  • Question 7

    Soit $z \in \mathbb{U}$,
    Montrer à présent que $|1 + z| \geq 1$ ou $\left |1 + z^2 \right| \geq 1$.

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