Cours Annale - Intégrales, loi uniforme
Exercice d'application

Annales : Intégrales, loi uniforme, algorithme

L’objet du problème est l’étude des intégrales $I$ et $J$ définies par : $I =\displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{1+x}  dx$ et $J =\displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{1+x^2}  dx$

Partie A : valeur exacte de l’intégrale $I$

1. Donner une interprétation géométrique de l’intégrale $I$.

2. Calculer la valeur exacte de $I$.

 

Partie B : estimation de la valeur de $J$

Soit $g$ la fonction définie sur l’intervalle $[0; 1]$ par $g (x) =\dfrac{1}{1+x^2} $.

On note $C_g$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan. On a donc : $J =\displaystyle \int_0^1 g(x)dx $

Le but de cette partie est d’évaluer l’intégrale $J$ à l’aide de la méthode probabiliste décrite ci-après.

On choisit au hasard un point $M (x ; y)$ en tirant de façon indépendante ses coordonnées $x$ et $y$ au hasard selon la loi uniforme sur $[0; 1]$. On admet que la probabilité $p$ qu’un point tiré de cette manière soit situé sous la courbe $C_g$ est égale à l’intégrale $J$.

En pratique, on initialise un compteur $c$ à $0$, on fixe un entier naturel $n$ et on répète $n$ fois le processus suivant :

— on choisit au hasard et indépendamment deux nombres $x$ et $y$, selon la loi uniforme sur $[0; 1]$;

— $si M (x ; y)$ est au-dessous de la courbe $C_g$ on incrémente le compteur $c$ de $1$. On admet que $f = \dfrac{c}{n}$ est une valeur approchée de $J$. C’est le principe de la méthode dite de MonteCarlo.

La figure ci-dessous illustre la méthode présentée pour $n = 100$.

$100$ points ont été placés aléatoirement dans le carré. Les disques noirs correspondent aux points sous la courbe, les disques blancs aux points au-dessus de la courbe. Le rapport du nombre de disques noirs par le nombre total de disques donne une estimation de l’aire sous la courbe.

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1. Recopier et compléter l’algorithme ci-après pour qu’il affiche une valeur approchée de J.

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2. Pour $n = 1000$, l’algorithme ci-dessus a donné pour résultat : $f = 0,781$. Donner un intervalle de confiance, au niveau de confiance de $95$ %, de la valeur exacte de $J$.

3. Quelle doit-être, au minimum, la valeur de $n$ pour que l’intervalle de confiance, au niveau de confiance de $95$ %, ait une amplitude inférieure ou égale à $0,02$ ?

 

On a : $x\in [0;1]$ ou encore $0\leq x \leq 1$

Ainsi : $1\leq x+1 \leq 2$

En passant à l'inverse : (la fonction décroissante sur $[1;2]$)

$\dfrac{1}{2} \leq \dfrac {1}{1+x}\leq 1$ 

On en conclut que $\dfrac {1}{1+x}\geq 0$ et que $J$ est aussi positive. 

$J$ est donc l'aire (en unité d'aire) du domaine compris entre la courbe représentant la fonction $x\to\dfrac {1}{1+x}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$.

 

2) On sait que $x\to\dfrac {1}{1+x}>0$ donc la fonction $x\to\dfrac {1}{1+x}$ admet pour primitive $x\to \ln(x+1)$

Ainsi : $I= \left[\ln(x+1)\right]_0^1= \ln(2)-\ln(1)=\ln(2)$   u.a

 

Partie B

1) On complète l’algorithme :

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2) Pour $n = 1000$, l’algorithme ci-dessus a donné pour résultat : $f = 0,781$.

L’intervalle de confiance, au niveau de confiance de $95$ % est :

$I=\left[f-\dfrac{1}{\sqrt n};f+\dfrac{1}{\sqrt n}\right]$

$I=\left[0,781-\dfrac{1}{\sqrt {1000}};0;781+\dfrac{1}{\sqrt {1000}}\right]$

$I\approx [0,749 ; 0,813]$

 

3) L’amplitude de l’intervalle de confiance est égal à $\dfrac{2}{\sqrt n}$ .

Il faut donc résoudre l’inéquation $\dfrac{2}{\sqrt n}\leq 0,02$

$\iff \sqrt n\geq \dfrac{2}{0,02}$

$\iff \sqrt n\geq 100$  (et par croissance de la fonction carré pour les nombres positifs)

$\iff n\geq 10000$

La valeur minimale de $n$ est donc  $10 000$.