Cours Dérivées de fonctions trigonométriques
Exercice

L'énoncé

Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indiquée.


Question 1

Soit \(f\) la fonction définie sur \(I = \mathbb{R}\) par : \(f(x) = x^2\cos(x)\).

\(f\) est dérivable sur \(I\) et la dérivée de \(f\) est donnée par :

\(f'(x) = x(2\cos(x)-x\sin(x))\)

On pose : \(u(x) = x^2\) et \(v(x) = \cos(x)\).
Les fonctions \(u\) et \(v\) sont dérivables sur \(\mathbb{R}\)
On a : \(u'(x) = 2x\) et \(v'(x) = - \sin(x)\)
Comme \((u \times v)' = u'v + uv'\)
\(f'(x) = 2x \cos(x) + x^2(-\sin(x))\)

\(f'(x) = x(2\cos(x)-x \sin(x))\)

La proposition est vraie.

Savez-vous dériver un produit ?


$(uv)' =$ ?


On utilise donc \((u \times v)' = u'v+ uv'\)

Question 2

Soit \(f\) la fonction définie sur \(I = \mathbb{R}\) par : \(f(x) = \sin(x) \times \cos(x)\)

\(f\) est dérivable sur \(I\) et la dérivée de \(f\) est donnée par : \(f'(x) = \cos(2x)\)

On pose : \(u(x) = \cos (x)\) et \(v(x) = \sin(x)\)
Les fonctions \(u\) et \(v\) sont dérivables sur \(\mathbb{R}\).
On a : \(u'(x) = -\sin(x)\) et \(v'(x) = \cos(x)\)
Comme \((u \times v)' = u'v+ uv'\),


\(f'(x) = \cos(x) \times \cos(x) + \sin(x) \times (-\sin(x))\)

\(f'(x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = \cos (2x)\)

La proposition est vraie.

$(uv)'=$ ?


On a donc \((u \times v)' = u'v+ uv'\)


Attention à bien utiliser la formule de trigonométrie sur \(cos^2x-sin^2x\).


On a \(\cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)\).

Question 3

\(f\) est la fonction définie sur \(I = \mathbb{R}\) par : \(f(x) = \sin^3(x)\)

\(f\) est dérivable sur \(I\) et la dérivée de \(f\) est donnée par : \(f'(x) = 3 \sin^2(x)\)

On pose \(u(x) = \sin(x)\)
La fonction \(u\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\)
On a : \(u'(x) = \cos(x)\)
Comme \((u^n)' = n \times u' \times u^{n-1}\)
\(f'(x) = 3\cos(x) \times \sin^2(x)\)

La proposition est fausse.

Il faut dériver \(u^n\).


La formule à connaître est : \((u^n)' = n \times u' \times u^{n-1}\)
Ici la valeur de \(n\) est 3 et \(u\) est la fonction sinus.

Question 4

\(f\) est la fonction définie sur \(I = \left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right[\) par :\(f(x) = \dfrac{1}{\cos(x)}\)

\(f\) est dérivable sur \(I\) et la dérivée de \(f\) est donnée par : \(f'(x) = -\dfrac{\sin(x)}{\cos^2(x)}\)

On a une écriture du type \(\dfrac{1}{u}\) où \(u(x) = \cos(x)\).

Remarquons aussi que \(f\) est bien définie et dérivable sur \(I\) puisque \(\cos(x)\) ne s'annule pas sur \(I\) (les bornes sont heureusement ouvertes en \(\frac{\pi}{2}\) et \(-\frac{\pi}{2}\)).

On pose \(u(x) = \cos(x)\) et on a \(u'(x)= -\sin(x)\)

\(f'(x) = -\dfrac{-\sin(x)}{\cos^2(x)}=\dfrac{\sin(x)}{\cos^2(x)}\)

La proposition est fausse.

Une formule de cours va t'aider ici : celle sur \(\dfrac{1}{u}\). La connais-tu ? À quelle condition peut-on l’appliquer ?


Au cas où : \(\left(\dfrac{1}{u}\right)' = -\dfrac{u'}{u^2}\) : c’est à savoir par cœur ! Et cette formule est valable sur tout intervalle où \(u\) est dérivable et surtout ne s’annule pas !

Question 5

\(f\) est la fonction définie sur \(I = \mathbb{R}^{*+}\) par: \(f(x) = \dfrac{\cos(x)}{x}\)

alors \(f\) est dérivable sur \(I\) et la dérivée de \(f\) est donnée par : \(f'(x) = -\dfrac{x\sin(x)+\cos(x)}{x^2}\)

On a une écriture du type \(\frac{u}{v}\) où \(u(x) = \cos(x)\) et \(v(x) = x\).
Remarquons aussi que \(f\) est bien définie et dérivable sur \(I= \mathbb{R}^{*+}\) puisque \(v\) ne s'annule pas sur \(\mathbb{R}^{*+}\)
On pose : \(u(x) = \cos(x)\) et \(v(x) = x\)
On a : \(u'(x) = -\sin(x)\) et \(v'(x) = 1\)

Comme \(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v-uv'}{v^2}\)

\(f'(x) = \dfrac{-\sin(x) \times(x) - \cos(x)}{x^2}\)

\(f'(x) = -\dfrac{x\sin(x) +\cos(x)}{x^2}\)

La proposition est vraie.

Au cas où, rappelons que \(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v-uv'}{v^2}\) : et c’est bien un signe moins au numérateur… Pensez à la condition \(v(x) \neq 0\) pour appliquer une telle formule !

Question 6

\(f\) est une  fonction définie sur un intervalle non donné par : \(f(x) = \dfrac{1}{\sin(x)}\)

\(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et la dérivée de \(f\) est donnée par : \(f'(x) = -\dfrac{\cos(x)}{\sin^2(x)}\)

On a une écriture du type \(\dfrac{1}{u}\) où \(u(x) = \sin(x)\).
Mais le problème est que \(f\) nest pas définie sur \(\mathbb{R}\) puisque \(\sin(x)\) s'annule sur \(I\) (et même une infinité de fois puisque l'on a :
\(\sin(x)=0 \Leftrightarrow x = k\pi\) pour \(k \in \mathbb{Z}\)).
La proposition est fausse : \(f\) nest pas dérivable sur \(\mathbb{R}\).
Cela dit, la formule proposée était exacte (par exemple l'énoncé aurait été juste en se plaçant sur lintervalle \(]0; \pi[\)).

Avez-vous pensé à l'ensemble de définition ?


Un piège s’est glissé dans la question : relisez bien tout !


La formule de la dérivée est correcte, MAIS on ne peut pas en dire autant de l’intervalle proposé !
Pour appliquer \(\left(\frac{1}{u} \right)'\) il faut bien penser à contrôler que \(u\) ne s’annule pas sur \(I\)…

Question 7

\(f\) est la fonction définie sur \(I = \mathbb{R}\) par : \(f(x) = \cos(3x - \frac{\pi}{4})\)

\(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et la dérivée de \(f\) est donnée par : \(f'(x) = -\sin( 3x-\frac{\pi}{4})\)

Si \(f(x) = g(ax+b)\) alors \(f'(x) = ag'(ax+b)\)
Avec : \(g(x) = \cos(x)\)
Donc : \(g'(x) = -\sin(x)\)

On obtient donc :

\(f'(x) = 3 \times \left(-\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right) \right) \)

\(f'(x)=- 3\sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right)\)

La proposition est fausse

As-tu repéré la formule de cours à utiliser ? C’est une formule que tu as du découvrir cette année en terminale : il est question de \(f(x) = g(ax + b)\)…


Si \(f(x) = g(ax+b)\) alors \(f'(x) = ag'(ax+b)\)

Question 8

\(f\) est la fonction définie sur \(I = \mathbb{R}\) par : \(f(x) = \sin(2x)\)

\(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et la dérivée de \(f\) est donnée par : \(f'(x) = 4\cos(x)\)

Si \(f(x) = g(ax+b)\) alors \(f'(x) = ag'(ax+b)\)
Avec : \(g(x) = \sin(x)\) et donc \(g(x)=\cos(x)\).
On obtient donc :
\(f'(x) = 2 \times (\cos(2x)) = 2\cos(2x)\)

Et ceci n'est pas égal à \(4\cos(x)\) !!!
La proposition est fausse.

Si vous avez traité la question précédente, vous devriez repérer la formule à appliquer !


Si \(f(x) = g(ax+b)\) alors \(f'(x) = ag'(ax+b)\)
Et ici, la fonction \(g\) est la fonction sinus, et la valeur de \(a\) est $2$. À vous de jouer !

Question 9

\(f\) est la fonction définie sur sur \(I = \mathbb{R}\) par : \(f(x) = 1+\sin(x)+\cos(x)+\sin(x) \times \cos(x)\)

\(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et la dérivée de \(f\) est donnée par : \(f'(x) = (\cos(x)-\sin(x))(\cos(x)+\sin(x)+1)\)

On a besoin de dériver la partie \(g(x) = \sin(x) \times \cos(x)\) :
On pose : \(u(x) = \cos(x)\) et \(v(x) = \sin(x)\)
Les fonctions \(u\) et \(v\) sont dérivables sur \(\mathbb{R}\)
On a : \(u'(x) = -\sin(x)\) et \(v'(x) = \cos(x)\)
Comme \((u \times v)' = u'v + uv'\)
On dérive maintenant la formule complète de \(f\) :
\(f'(x) = \cos x - \sin(x) + \cos^2(x)-\sin^2(x)\)

\( f'(x)= \cos(x) - \sin(x) + (\cos(x)+\sin(x))(\cos(x)-\sin(x))\)

\(f'(x)= (\cos(x) -\sin(x))(1+(\cos(x)+\sin(x)))\)

\(f'(x)= (\cos(x)-\sin(x))(1+\cos(x)+\sin(x))\)

La proposition est vraie.

On a besoin de commencer par dériver la partie \(\sin(x) \times \cos(x)\) : formule sur le produit donc !


On dérive ensuite la formule complète de \(f\), et on cherche ensuite à obtenir l’expression proposée pour voir si elle est vraie ou fausse !


Il suffit d’une identité remarquable !

Question 10

\(f\) est la fonction définie sur \(I=\mathbb{R}\) par : \(f(x)=\cos^2(x) \times \cos(2x)\)

\(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et la dérivée de \(f\) est donnée par : \(f'(x)=-2\cos(x) \times \sin(3x)\)

On pose \(u(x) = \cos^2(x)\) et \(v(x) = \cos(2x)\)
Les fonctions \(u\) et \(v\) sont dérivables sur \(\mathbb{R}\)
On a : \(u'(x) = -2\sin(x) \times \cos(x)\) et \(v'(x) = -2\sin(2x)\)
Comme \((u \times v)' = u'v+uv'\)
\(f'(x) = -2\sin(x) \times \cos(x) \times \cos(2x) + \cos^2(x) \times (-2\sin(2x))\)

\(f'(x)=-2\cos(x)(\sin(x)\cos(2x)+\cos(x)\sin(2x))\)

Pour finir, on utilise une des formules d'addition. On a : 

\(\sin(a+b)=\sin(a) \times \cos(b) + \cos(a) \times \sin(b)\)
\(f'(x) = -2\cos(x) \times \sin(x+2x)\)

\(f'(x)= -2\cos(x) \times \sin(3x)\)

La proposition est vraie.

On a besoin de commencer par dériver \(u(x) = \cos^2(x)\) et \(v(x)=\cos(2x)\). Prends ton temps pour ne pas faire d’erreur !


Pour finir le calcul on a besoin de factoriser : as-tu le facteur commun ?


On peut utiliser une formule de trigonométrie : \(\sin(a+b)=\sin(a) \times \cos(b) + \cos(a) \times \sin(b)\)