Limites de fonctions trigonométriques

Calculs de limites de fonctions trigonométriques

Calculs de limites de fonctions trigonométriques

 

Limites au voisinage de l’infini

 

Les fonctions cosinus et sinus n’ont pas de limite en $+infty$ ni en $-infty$.

limites_sinus_et_cosinus_infini

 

Cependant, on peut comparer leurs croissances aux puissances de $x$ :

$displaystyle lim_{xto \pm \infty} dfrac{cos(x)}{x^n}=0$ avec $nin mathbb{N}^star$

$displaystyle lim_{xto \pm \infty} dfrac{sin(x)}{x^n}=0$ avec $ninmathbb{N}^star$

Ces résultats s’obtiennent très facilement avec le théorème des gendarmes

 

Limite en $0$

En faisant apparaître un taux de variation, on montre que :

${displaystylelim_{xto 0}dfrac{sin(x)}{x}=1}$

Preuve :

$displaystylelim_{xto 0} dfrac{sin(x)}{x}=lim_{xto 0}dfrac{sin(x)-sin(0)}{x-0} =sin'(0) = cos(0) = 1$

Exemple

Calculer la limite en $0$ de la fonction $f(x)=dfrac{sin(4x)}{x}$.

 

Il s’agit ici de faire apparaître un taux de variation pour pouvoir calculer cette limite qui est une forme indéterminée du type : $dfrac00$.

Pour cela, on écrit $f(x) = 4 \times dfrac{sin(4x)}{4x}$.

Or, on sait que $displaystylelim_{xto 0}dfrac{sin(x)}{x}=1$ et si le nombre $x$ tend vers $0$ alors $4x$ tend aussi vers $0$.

Ainsi : $displaystyle lim_{xto 0}dfrac{sin(4x)}{4x}=1$.

En multipliant par la constante $4$, on en déduit finalement la limite de $f$ en $0$ :

${displaystylelim_{xto 0}f(x)=4}$

Calculs de limites de fonctions trigonométriques - Exercice 1

1) (limlimits_{x \to +infty} \frac{cos x}{x})

(-1 \leq \cos x \leq 1)

(frac{-1}{x} \leq \frac{cos x}{x} \leq frac{1}{x})

(limlimits_{x \to +infty} frac{-1}{x} = 0)

(limlimits_{x \to +infty} \frac{1}{x} = 0)

(limlimits_{x \to +infty} \frac{cos x}{x} = 0)

2) (limlimits_{x \to -infty} x + \cos x)

(-1 \leq \cos x \leq 1)

(-1+x \leq \cos x + x \leq 1 + x)

(limlimits_{x \to -infty} 1+x = -infty)

Donc (limlimits_{x \to -infty} \cos x+x = -infty)

Calculs de limites de fonctions trigonométriques - Exercice 2

Rappel :
Si une fonction (g) est dérivable en (a), alors ( limlimits_{x \to a} frac{g(x)-g(a)}{x-a} = g'(a))