L’incontournable du chapitre

Étude de la fonction cosinus

Etude de la fonction cosinus

 

Domaine de définition et dérivée

 

La fonction cosinus est définie sur $mathbb{R}$.

Elle est, en outre, $2pi$-périodique (ce qui signifie que pour tout $xinmathbb{R}, cos(x+2pi)=cos(x)$)

et paire (pour tout $xinmathbb{R}, cos(-x)=cos(x)$) ce qui permet de restreindre son étude à $[0,pi]$.

Son domaine de dérivabilité est $mathbb{R}$ et pour tout $xinmathbb{R}, cos'(x)=-sin(x)$.

 

Variations sur $[0,pi]$

 

Pour étudier les variations de la fonction cosinus, on étudie le signe de sa dérivée c’est-à-dire le signe de $-sin(x)$ sur $[0,pi]$.

 variations_cosinus

 

Représentation graphique

 

Courbe représentative de la fonction cosinus obtenue avec les propriétés de parité et de périodicité de la fonction:

 cosinus-graphique

 

Propriétés algébriques et autres formules

 

Pour tout $xinmathbb{R}$, $cos^2(x)+sin^2(x)=1$.

Pour tout $xinmathbb{R}$, $cos(2x)=2cos^2(x)-1$.

Pour tous $a,b$ réels, $cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)$.

Formule d’Euler : $cos(theta)= dfrac{e^{itheta}+e^{-itheta}}{2}$, où $e^{itheta}$ est le nombre complexe de module 1 et
d’argument $theta$ : $e^{itheta}=cos ({theta}) +isin({theta})$.

$cos(-x) =cos(x)$

$cos(x+pi)= -cos(x)$

$cos(frac{pi}{2}-x)= sin(x)$

Propriétés de la fonction cosinus

Propriétés de la fonction Cosinus

 

On pose pour (x \in mathbb{R}), (f(x) = \cos x).

1) On a ( \cos (x + 2pi) = \cos x)

Soit (f(x + 2pi) = f(x)).

On dit que (f) est (2pi) périodique.

Conséquence : On peut tracer la courbe uniquement sur un intervalle de longueur (2pi).

2) On a (cos (-x) = \cos x).

Soit (f(-x) = f(x)).

La fonction est paire.

Conséquence : La courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

 

foction_cosinus

Étude de la fonction sinus

Etude de la fonction sinus

 

Domaine de définition et dérivée

 

La fonction sinus est définie sur $mathbb{R}$.

Elle est impaire (pour tout $xinmathbb{R}, sin(-x)=-sin(x)$) et $2pi$-périodique (pour tout $xinmathbb{R}, sin(x+2pi)=sin(x)$) ce qui permet de restreindre son étude à $[0,pi]$.

Son domaine de dérivabilité est $mathbb{R}$ et pour tout $xinmathbb{R}, sin'(x)=cos(x)$.

 

Variations sur $[0,pi]$

 

Pour étudier les variations de la fonction sinus, on étudie le signe de sa dérivée c’est-à-dire le signe de $cos(x)$ sur $[0,pi]$.

variations_sinus

Représentation graphique

 

Courbe représentative de la fonction sinus obtenue avec les propriétés de parité et de périodicité de la fonction :

sinus-graphique

 

Propriétés algébriques et autres formules

 

Pour tout $xinmathbb{R}$, $cos^2(x)+sin^2(x)=1$.

Pour tout $xinmathbb{R}$, $sin(2x)=2cos(x)sin(x)$ 

Pour tous $a,b$ réels, $sin(a+b)=cos(a)sin(b)+cos(b)sin(a)$.

Formule d’Euler : $sin(theta)= dfrac{e^{itheta}-e^{-itheta}}{2i}$.

$sin(-x)=-sin(x)$

$sin(x+pi)= -sin(x)$

$sin(frac{pi}{2}-x)= cos(x)$

Propriétés de la fonction sinus

Propriétés de la fonction Sinus

 

On pose, pour (x \in mathbb{R}), (f(x) = \sin x)

1) On a ( \sin (x+2 pi) = \sin x)

Soit ( f (x+2 pi) = f (x))

On dit que (f) est (2pi) périodique.

Conséquence : On peut tracer la courbe uniquement sur un intervalle de longueur (2pi).

2) On a ( \sin (-x) = \sin x)

Soit ( f (-x) = -f (x))

La fonction (f) est impaire.

Conséquence : La courbe est symétrique par rapport à l’origine (O) du repère.

 

fonction_sinus

Calculs de limites de fonctions trigonométriques

Calculs de limites de fonctions trigonométriques

 

Limites au voisinage de l’infini

 

Les fonctions cosinus et sinus n’ont pas de limite en $+infty$ ni en $-infty$.

limites_sinus_et_cosinus_infini

 

Cependant, on peut comparer leurs croissances aux puissances de $x$ :

$displaystyle lim_{xto \pm \infty} dfrac{cos(x)}{x^n}=0$ avec $nin mathbb{N}^star$

$displaystyle lim_{xto \pm \infty} dfrac{sin(x)}{x^n}=0$ avec $ninmathbb{N}^star$

Ces résultats s’obtiennent très facilement avec le théorème des gendarmes

 

Limite en $0$

En faisant apparaître un taux de variation, on montre que :

${displaystylelim_{xto 0}dfrac{sin(x)}{x}=1}$

Preuve :

$displaystylelim_{xto 0} dfrac{sin(x)}{x}=lim_{xto 0}dfrac{sin(x)-sin(0)}{x-0} =sin'(0) = cos(0) = 1$

Exemple

Calculer la limite en $0$ de la fonction $f(x)=dfrac{sin(4x)}{x}$.

 

Il s’agit ici de faire apparaître un taux de variation pour pouvoir calculer cette limite qui est une forme indéterminée du type : $dfrac00$.

Pour cela, on écrit $f(x) = 4 \times dfrac{sin(4x)}{4x}$.

Or, on sait que $displaystylelim_{xto 0}dfrac{sin(x)}{x}=1$ et si le nombre $x$ tend vers $0$ alors $4x$ tend aussi vers $0$.

Ainsi : $displaystyle lim_{xto 0}dfrac{sin(4x)}{4x}=1$.

En multipliant par la constante $4$, on en déduit finalement la limite de $f$ en $0$ :

${displaystylelim_{xto 0}f(x)=4}$

Dérivation des fonctions trigonométriques

Dérivation de fonctions trigonométriques

 

Propriétés

 

Soient $a$ et $b$ deux réels.

Pour tout $xin mathbb{R},$

$(cos(ax+b))’=-asin(ax+b)$

$(sin(ax+b))’=acos(ax+b)$

 

En particulier, pour $a=1$ et $b=0$,

Pour tout $xin mathbb{R},$

$(cos(x))’=-sin(x) $

$(sin(x))’=cos(x) $

 

Exemples

Dériver les fonctions suivantes en précisant leurs ensembles de dérivabilité :

1) $f(x)=dfrac{sin(x)}{cos(x)}$ sur $left] -dfrac{pi}{2},dfrac{pi}{2} right[$ 

2) $g(x) = dfrac{sin(3-2x)}{2}$ sur $mathbb{R}$

3) $k(x)= sin(x)cos(x)$ sur $mathbb{R}$

 

Correction

1) $f$ est dérivable sur $left] -dfrac{pi}{2},dfrac{pi}{2} right[$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $left] -dfrac{pi}{2},dfrac{pi}{2} right[$ avec $cos(x)$ non nul sur cet intervalle.

On écrit $u(x)=sin(x)$ et $v(x)=cos(x)$ de sorte que $f(x)=dfrac{u(x)}{v(x)}$.

On a alors $u'(x)=cos(x)$ et $v'(x)=-sin(x)$  et pour tout $xin left] -dfrac{pi}{2},dfrac{pi}{2} right[$ : 

$ f'(x) = dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$

$f'(x)= dfrac{cos^2(x)+sin^2(x)}{cos^2(x)}$

$f'(x)=dfrac{1}{cos^2(x)}$

 

2) Pour $xinmathbb{R}$ :

$ g'(x)  = -2cos(3-2x)times dfrac12$

soit $ g'(x)  = -cos(3-2x)$

 

 

3) $k$ est dérivable sur $mathbb{R}$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $mathbb{R}$.

On écrit $u(x)=cos(x)$ et $v(x)=sin(x)$ de sorte que $k(x)=u(x)v(x)$

On a alors : $u'(x)=-sin(x)$ et $v'(x)=cos(x)$.

Ainsi, pour $xinmathbb{R}$ :

$ k'(x) = u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$

$ k'(x)=-sin^2(x)+cos^2(x) $

$ k'(x)= 2cos^2(x)-1$

$ k'(x)=cos(2x)$

Équations trigonométriques

Equations trigonométriques

 

Egalité de cosinus ou de sinus

 

Conditions d’égalité de deux cosinus :

$ cos(x)=cos(a) \Leftrightarrow x=a+2kpi \text{ ou \} x=-a+2kpi \text{ avec \} kin mathbb{Z}$

 

 egalite-cosinus

 

 

Conditions d’égalité de deux sinus :

$sin(x)=sin(a) \Leftrightarrow x=a+2kpi \text{ ou \} x=(pi-a)+2kpi \text{ avec \} kinmathbb{Z}$

 

 egalite-sinus

 

Exemple

Résoudre dans $mathbb{R}$ l’équation $sin(3x)=dfrac{sqrt2}{2}$

On a $dfrac{sqrt2}{2}=sinleft( dfrac{pi}{4}right)$ d’après le cours, donc :

$sin(3x)=dfrac{sqrt2}{2} \Leftrightarrow 3x=dfrac{pi}{4}+2kpi$     ou    $3x=left(pi-dfrac{pi}{4}right)+2kpi = dfrac{3pi}{4}+2kpi $

C’est à dire :

$x=dfrac{pi}{12}+dfrac{2kpi}{3}$   ou   $x=dfrac{pi}{4}+dfrac{2kpi}{3}$ avec $kinmathbb{Z}$