Dérivées de fonctions trigonométriques

Dérivation des fonctions trigonométriques

Dérivation de fonctions trigonométriques

 

Propriétés

 

Soient $a$ et $b$ deux réels.

Pour tout $xin mathbb{R},$

$(cos(ax+b))’=-asin(ax+b)$

$(sin(ax+b))’=acos(ax+b)$

 

En particulier, pour $a=1$ et $b=0$,

Pour tout $xin mathbb{R},$

$(cos(x))’=-sin(x) $

$(sin(x))’=cos(x) $

 

Exemples

Dériver les fonctions suivantes en précisant leurs ensembles de dérivabilité :

1) $f(x)=dfrac{sin(x)}{cos(x)}$ sur $left] -dfrac{pi}{2},dfrac{pi}{2} right[$ 

2) $g(x) = dfrac{sin(3-2x)}{2}$ sur $mathbb{R}$

3) $k(x)= sin(x)cos(x)$ sur $mathbb{R}$

 

Correction

1) $f$ est dérivable sur $left] -dfrac{pi}{2},dfrac{pi}{2} right[$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $left] -dfrac{pi}{2},dfrac{pi}{2} right[$ avec $cos(x)$ non nul sur cet intervalle.

On écrit $u(x)=sin(x)$ et $v(x)=cos(x)$ de sorte que $f(x)=dfrac{u(x)}{v(x)}$.

On a alors $u'(x)=cos(x)$ et $v'(x)=-sin(x)$  et pour tout $xin left] -dfrac{pi}{2},dfrac{pi}{2} right[$ : 

$ f'(x) = dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$

$f'(x)= dfrac{cos^2(x)+sin^2(x)}{cos^2(x)}$

$f'(x)=dfrac{1}{cos^2(x)}$

 

2) Pour $xinmathbb{R}$ :

$ g'(x)  = -2cos(3-2x)times dfrac12$

soit $ g'(x)  = -cos(3-2x)$

 

 

3) $k$ est dérivable sur $mathbb{R}$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $mathbb{R}$.

On écrit $u(x)=cos(x)$ et $v(x)=sin(x)$ de sorte que $k(x)=u(x)v(x)$

On a alors : $u'(x)=-sin(x)$ et $v'(x)=cos(x)$.

Ainsi, pour $xinmathbb{R}$ :

$ k'(x) = u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$

$ k'(x)=-sin^2(x)+cos^2(x) $

$ k'(x)= 2cos^2(x)-1$

$ k'(x)=cos(2x)$

Inéquations trigonométriques

Inéquations trigonométriques

 

Résolution graphique

 

On souhaite résoudre sur $[0,2pi]$ l’inéquation suivante : $cos(x)leqslant dfrac12$.

On sait que $cosleft(dfrac{pi}{3}right)=dfrac12$ et $cosleft(-dfrac{pi}{3}right)=dfrac12$.

Ici, on veut résoudre l’équation sur $[0,2pi]$ donc on écrit

$-dfrac{pi}{3}=-dfrac{pi}{3}+2pi= dfrac{5pi}{3}$ $[2pi]$.

 

 

On constate alors que tous les $x$ compris dans la zone surlignée en rouge ont un cosinus inférieur à $dfrac12$.

 

inequation_trigo_cosinus

Ensemble de solutions

 

On peut alors simplement donner l’ensemble de solutions de l’inéquation de départ :

$ mathcal{S}= left[ dfrac{pi}{3};dfrac{5pi}{3} right]$