Opérations sur les matrices

Vocabulaire sur les matrices

Vocabulaire sur les matrices

 

Définition

 

Une matrice $(ntimes p)$ est un tableau à $n$ lignes et $p$ colonnes.

Exemple

$A=begin{pmatrix}
3 & 4 & -1 \
0 & dfrac{1}{2} & 7\
end{pmatrix} $    est une matrice $(2times 3)$

Chaque nombre de $A$ est appelé coefficient: par exemple ${a}_{1;2}=4$ est le coefficient de la première ligne et de la deuxième colonne.

 

Vocabulaire

 

Matrice carrée: matrice ayant autant de lignes que de colonnes.

Matrice ligne: matrice ayant une ligne et plusieurs colonnes.

Matrice colonne: matrice ayant une colonne et plusieurs lignes.

Matrice unité:

$I_3=begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0\
0 & 0 & 1\
end{pmatrix} $. 

$I_3$ est une matrice carrée de dimension $3$. Ses coefficients valent $1$ sur la diagonale principale et $0$ ailleurs.

Opérations sur les matrices

Opérations sur les matrices

 

Somme de deux matrices de mêmes dimensions

 

On ne peut additionner des matrices que si elles ont les mêmes dimensions.

Exemple de la somme de deux matrices de dimensions $(3times 2)$

On additionne les coefficients ayant la même position dans la matrice :

$A =begin{pmatrix}
1 & 2 \
0 & -1\
3 & 4\
end{pmatrix}$

$B =begin{pmatrix}
-1 & 0 \
3 & 4\
0 & 1\
end{pmatrix} $

 

$A+B =begin{pmatrix}
1-1 & 2+0\
3+0 & -1+4\
3+0 & 4+1\
end{pmatrix}  $

Soit : $A+B =begin{pmatrix}
0 & 2\
3 & 3\
3 & 5\
end{pmatrix}  $

 

Produit d’une matrice par un réel $k$

 

On multiplie chacun des coefficients par $k$.

 

$2 A =begin{pmatrix}
2times1 & 2times 2 \
2times0 &2times(-1)\
2times3&2times4\
end{pmatrix}$

Soit : $2 A =begin{pmatrix}
2 & 4 \
0 & -2\
6& 8\
end{pmatrix}$

$-B =begin{pmatrix}
1 & 0 \
-3 & -4\
0 & -1\
end{pmatrix} $     (Matrice opposée de $B$)

$0times A =begin{pmatrix}
0 & 0\
0 & 0\
0& 0\
end{pmatrix}$    (Matrice nulle)

 

Produit de matrices

Produit de matrices

 

Définition

 

Soit $A$ une matrice $(ntimes p)$.

Soit $B$ une matrice $(ptimes m)$.

Pour pouvoir multiplier deux matrices, il faut que le nombre de colonnes de la première soit égal au nombre de lignes de la seconde.

Exemple

 Soit $A=begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \
0 & -1 & 2\
end{pmatrix} $ une matrice $(2times 3)$ et 

$B=begin{pmatrix}1 & 4 \
2 & 0\
-1 & 3\end{pmatrix} $ une matrice $(3times 2)$ 

On peut calculer le produit $Atimes B$ des matrices de la façon suivante :

$Atimes B=begin{pmatrix}
1 times 1+2 times 2 – 1 times 3 & 1 times 4 +2 times 0 +3 times 3\
1 times 0+ 2times (-1) +2 times (-1) & 4 times 0 +(-1) times 0 +3 times 2\
end{pmatrix} $ 

$Atimes B=begin{pmatrix}2& 13\
-4 & 6\
end{pmatrix} $ 

 

Remarque :

On  peut ici effectuer le produit $Btimes A$ car les dimensions des matrices s’y prêtent.

Ce n’est pas le cas général, il faut toujours vérifier les dimensions des matrices à multiplier.

On dira que le produit des matrices n’est pas commutatif.