Cours Fonctions cosinus et sinus, équations trigonométriques

Exercice - Équations trigonométriques

L'énoncé

Résoudre les équations suivantes.


Question 1

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(\cos(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow \cos(x) = \cos(\frac{\pi}{6})\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin {array}{left} x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\\ x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \end{array}\right.\) (\(k\) appartenant à \(\mathbb{Z}\))

Conclusion :
Les solutions sont les réels \(x\) tels que :
\(x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) et \(x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi\) où \(k\) appartient à \(\mathbb{Z}\).

Trouve déjà un nombre dont le cosinus est \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).


C’est le nombre \(\frac{\pi}{6}\) ! On utilise ensuite que : \(\cos U = \cos V \Leftrightarrow U = V + 2k\pi\) ou \(U = -V+2k\pi\)
(Vous pouvez représenter le cercle pour retrouver ce résultat : deux angles opposés ont bien le même cosinus.

Question 2

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation : \(\cos(x)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Il faut commencer par repérer la présence du signe « - » devant le \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) :
Ce nombre est le cosinus de \(\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}\) (voir le cercle trigonométrique !)
On a donc : \(\cos(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow \cos(x) = \cos\frac{3\pi}{4}\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{left} x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi\\ x = -\frac{3\pi}{4}+2k\pi \end{array}\right.\) (\(k\) appartenant à \(\mathbb{Z}\))

Conclusion :
Les solutions sont les réels \(x\) tels que : \(x = \frac{3\pi}{4}+2k\pi\) et \(x = -\frac{3\pi}{4}+2k\pi \)
où \(k\) appartient à \(\mathbb{Z}\).

Connais-tu un angle dont le cosinus vaut \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) ? Tu peux faire un dessin pour t’aider…


Tu peux avoir proposé deux réponses à la première question \(\frac{3\pi}{4}\) ou \(\frac{5\pi}{4}\) ensuite on utilise la règle \(\cos U = \cos V \Leftrightarrow U = V + 2k\pi\) ou \(U = -V + 2k\pi\) avec l’une de deux valeurs obtenues !

Question 3

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(\sin(2x)=-\frac{1}{2}\)

Puis préciser les solutions appartenant à l'intervalle \(]-\pi;\pi]\).

On cherche un réel ayant pour sinus \(-\frac{1}{2}\) : c'est \(-\frac{\pi}{6}\) (on utilise le cercle trigonométrique et les valeurs usuelles du sinus).
On a donc :
\(\sin(2x) = -\frac{1}{2}\Leftrightarrow \sin(2x) = \sin(-\frac{\pi}{6})\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{left} 2x = -\frac{\pi}{6}+2k\pi\\ 2x = \pi-(-\frac{\pi}{6})+2k\pi \end{array}\right.\) (\(k\) appartenant à \(\mathbb{Z}\))

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{left} x = \frac{-\frac{\pi}{6}+2k\pi}{2}\\ 2x = \frac{7\pi}{6}+2k\pi \end{array}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{left} x = -\frac{\pi}{12}+k\pi\\ x=\frac{7\pi}{12}+k\pi \end{array}\right.\)

 Conclusion :
Les solutions dans \(\mathbb{R}\) sont les réels \(x\) tels que : \(x = -\frac{\pi}{12}+k\pi\) et \(x= \frac{7\pi}{12}+k\pi\) où \(k\) appartient à \(\mathbb{R}\).

On demande maintenant de préciser les solutions appartenant à \(]-\pi;\pi]\)
On prend donc les formules précédentes, et on fait varier $k$ pour trouver les solutions comprises entre \(\pi\) et \(\pi\).

  • Premier type de formule : soit \(x = \frac{-\pi}{12}\)

\(k = 0\;:\;x=-\frac{\pi}{12}\)
\(k = 1\;:\;x = -\frac{\pi}{12}+\pi = \frac{11\pi}{12}\)

Les autres valeurs (obtenues avec \(k = 2;\;3\)… ou \(k = -1 \;; -2\)…) ne sont plus comprises entre \(\pi\) et \(\pi\) : on ne les garde pas.

  • Deuxième type de formule : pour \(x = \frac{7\pi}{12}+k\pi\) :

\(k = 0 \;:\; x = \frac{7\pi}{12}\)
\(k = -1 \;:\; x = \frac{7\pi}{12} - \pi = -\frac{5\pi}{12}\)
Les autres valeurs (obtenues avec \(k =1\;;\;2\)… ou \(k = -2\)…) ne sont plus comprises entre \(\pi\) et \(\pi\) : on ne les garde pas.

Conclusion :
Les solutions dans \(]-\pi;\pi]\) sont les réels : \(-\frac{\pi}{12}\); \(\frac{11\pi}{12}\); \(\frac{7\pi}{12}\) et \(-\frac{5\pi}{12}\).

Quel nombre a pour sinus \(-\frac{1}{2}\) ?


On a par exemple que \(sin\left( -\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}\)
Pour continuer, on la règle : \(\sin U =\sin V \Leftrightarrow U = V +2k\pi\) ou \(U = \pi-V+2k\pi\) (ça se voit sur le cercle trigonométrique : vas voir la vidéo).


L’une des étapes du calcul consiste à diviser par 2 : as-tu bien mené le calcul ? Petit indice : tu dois arriver à l’écriture \(x = -\frac{\pi}{12}+k\pi\) ou \(x=\frac{7\pi}{12}+k\pi\) pour les solutions : as-tu cela ? (Et oui, ce sont bien des \(+k\pi\).)


Pour trouver les solutions de l’intervalle , il faut tester les premières valeurs de \(k\) : à toi de jouer !

Question 4

On note \(C_f\) la courbe représentative de la fonction \(f\) définie sur $\mathbb{R}$ par : \(f(x) = \cos^2(x)-1\)

Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la courbe \(C_f\) avec les axes du repère.

a. Intersection avec l'axe des ordonnées :
Visualisez ce qui se passe avec un brouillon : en fait il suffit de trouver \(f(0)\) !
\(f(0) = \cos^2(0)-1=1-1=0\)

L'intersection de la courbe \(C_f\) avec l'axe des ordonnées est le point de coordonnées \((0 ; 0)\)

a. Intersection avec l'axe des abscisses :
Il faut ici résoudre \(f(x) = 0\)
\(f(x) = 0 \Leftrightarrow \cos^2(x)-1=0 \Leftrightarrow (\cos(x)-1)(\cos(x)+1)=0\)

\(\Leftrightarrow \cos(x)=1\) ou \(\cos(x)=-1\)
\(\Leftrightarrow x = 0+2k\pi\) ou \(x= \pi+2k\pi\)
\(x = 2k\pi\) ou \(x=(2k+1)\pi\)

Les points d'intersections de \(C_f\) avec l'axe des abscisses sont les points de coordonnées : \((2k\pi;0)\) et \(((2k+1)\pi;0)\)

Remarque : On les note aussi : $S=\{(k\pi;0); \; k\in \mathbb{Z}\}$

Cherchons l’intersection avec l’axe des ordonnées : arrivez-vous à traduire cela ? Faites un schéma d’une courbe dans un repère pour vous aider…


On calcule \(f(0)\) !


Cherchons l’intersection avec l’axe des abscisses : cela se traduit par \(f(x) = 0\)


Avez-vous pensé à la possibilité \(\cos(x)=-1\) ?

Question 5

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation : \(\sin\left(4x-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\)

On a déjà que :
\(\sin (X) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow X = \frac{\pi}{6}+2k\pi\) ou \(X = \pi-\frac{\pi}{6}+2k\pi\)
\(\Leftrightarrow X = \frac{\pi}{6}+2k\pi\) ou \(X = \frac{5\pi}{6}+2k\pi\) (\(k\) appartenant à \(\mathbb{Z}\))

En mettant \((4x-\frac{\pi}{3})\) à la place de \(X\), on obtient :

\(\sin\left(4x-\frac{\pi}{3}\right)= \frac{1}{2}\Leftrightarrow \left\{\begin {array}{left} 4x-\frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}+2k\pi\\ 4x-\frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6}+2k\pi \end{array}\right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{\begin {array}{left} 4x = \frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}+2k\pi\\ 4x = \frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{6} +2k\pi \end{array}\right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{\begin {array}{left} 4x = \frac{3\pi}{6}+2k\pi\\ 4x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \end{array}\right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{\begin {array}{left} x = \frac{\frac{3\pi}{6}+2k\pi}{4}\\ x = \frac{\frac{7\pi}{6}+2k\pi}{4} \end{array}\right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{\begin {array}{left} x = \frac{3\pi}{24}+\frac{1}{2}k\pi\\ x= \frac{7\pi}{24}+\frac{1}{2}k\pi \end{array}\right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{\begin {array}{left} x = \frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}\\ x = \frac{7\pi}{24}+\frac{k\pi}{2} \end{array}\right.\)

Conclusion :
Les solutions sont les réels \(x\) tels que : \(x=\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}\)   et  \(x= \frac{7\pi}{24}+\frac{k\pi}{2}\) où \(k\) appartient à \(\mathbb{Z}\).

Il faut savoir quel nombre a pour sinus \(\frac{1}{2}\) !


C’est \(4x-\frac{\pi}{3}\) qui doit donc être égal soit à \(\frac{\pi}{6}\) soit à \(\frac{5\pi}{6}+2k\pi =\) cela donne donc deux équations à résoudre pour trouver \(x\).


L’une des étapes du calcul consiste à diviser par 4.

Question 6

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation : \(4\sin^2(x)-8\sin(x)-5=0\).

On pose \(X = \sin(x)\). Alors \(X\) vérifie : \(4X^2-8X-5=0\).
Le discriminant est : \(\Delta = 64+4 \times 4\times 5=144\).
Les solutions de \(4X^2-8X-5=0\) sont donc :

\(X_1 = \frac{8+12}{8}=\frac{5}{2}\) et \(X_2 = \frac{8-12}{8}=-\frac{1}{2}\)

Comme \(X = \sin(x)\), on a donc deux possibilités  : soit \(\sin(x)=\frac{5}{2}\), soit \(\sin(x)=-\frac{1}{2}\).
La première équation \(\sin(x)=\frac{5}{2}\) n'a pas de solution car on sait que \(-1 \leq \sin(x) \leq 1\).

Résolvons la deuxième équation :
\(\sin(x)=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow \sin(x) = sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{\begin {array}{left} x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi\\ x=\pi-\left( -\frac{\pi}{6}\right) +2k\pi \end{array}\right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{\begin {array}{left} x = -\frac{\pi}{6}+2k\pi\\ x=\pi+\frac{\pi}{6}+2k\pi \end{array}\right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{\begin {array}{left} x = -\frac{\pi}{6}+2k\pi\\ x = \frac{7\pi}{6}+2k\pi \end{array}\right.\)

En conclusion :
Le solutions de \(4\sin^2(x)-8\sin(x)-5=0\) sont les réels \(x\) tels que : \(x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi\) et \(x=\frac{7\pi}{6}+2k\pi\) où \(k\) est un entier relatif (\(k\) appartient à \(\mathbb{Z}\)).

On procède par changement de variable : on pose \(X = \sin(x)\).


On résout \(4X^2-8X-5=0\)


Que dire de l’équation \(\sin(x)=\frac{5}{2}\) ?