Cours Système d'équations paramétriques de droites

Exercice - Intersection de deux droites

L'énoncé

L’espace est muni d'un un repère orthonormal \((O; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j}; \overrightarrow{k})\).

On note \((D)\) la droite passant par \(A(1;-2;-1)\) et \(B(3;-5;-2)\).


Question 1

Montrer qu'une représentation paramétrique de la droite \((D)\) est :

\(\left\{ \begin{array}{left} x = 1 + 2t\\ y = -2-3t\\ z = -1-t\\ \end{array}\right. \) avec \(t \in \mathbb{R}\)

La droite \((D)\) est la droite passant par \(A\) de coordonnées \((1;-2;-1)\) et de vecteur directeur \(\overrightarrow{AB}\) de coordonnées \((3-1;-5+2;-2+1)\) ou encore : \(\overrightarrow{AB}(2;-3;-1)\).

On en déduit immédiatement d'après le cours qu'une représentation paramétrique de la droite \((D)\) est :

\(\left\{ \begin{array}{left} x = 1 + 2t\\ y = -2-3t\\ z = -1-t\\ \end{array}\right. \) avec \(t \in \mathbb{R}\)

Cherchez un vecteur directeur de \((AB)\).


Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) convient bien sûr. Vous l’aviez deviné.


Un oubli sur ce qu’est une équation paramétrique d’une droite ? Voir la vidéo de rappel via les prérequis.

Question 2

On note \((D')\) la droite ayant pour représentation paramétrique \(\left\{ \begin{array}{left} x = 2-k\\ y = 1+2k\\ z = k\\ \end{array}\right. \) avec \(k \in \mathbb{R}\)
Montrer que les droites \((D)\) et \((D')\) sont non coplanaires.

La droite \((D)\) est dirigée par le vecteur \(\overrightarrow{u}(2;-3;-1)\) et la droite \((D')\) est dirigée par le vecteur \(\overrightarrow{u'}(-1;2;1)\).
Les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{u'}\) ne sont pas colinéaires (car s'il existe un réel \(k\) tel que \(\overrightarrow{u'} = k\overrightarrow{u}\), on a \(k=-1\) en analysant les troisièmes coordonnées mais aussi \(k = -\frac{1}{2}\) en analysant les premières coordonnées ce qui est impossible).
Donc les droites \((D)\) et \((D')\) ne sont donc pas parallèles.

Les droites \((D)\) et \((D')\) sont non coplanaires si et seulement si les droites \((D)\) et \((D')\) n'ont aucun point commun.
Etudions donc l'intersection des droites \((D)\) et \((D')\).
Soient \(t\) et \(k\) deux réels.
\(\left\{ \begin{array}{left} 1+2t = 2-k\\ -2-3t= 1+2k\\ -1-t = k\\ \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{left} k=-1-t\\ 1+2t=2-(-1-t)\\ -2-3t=1+2(-1-t)\\ \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{left} k=-1-t\\ t =2\\ t=-1\\ \end{array}\right. \)

Ce système n'a pas de solution et donc les droites \((D)\) et \((D')\) n'ont pas de point commun.
Les droites \((D)\) et \((D')\) sont non coplanaires.

Pour montrer que deux droites sont non coplanaires, il faut vérifier qu’elles ne sont ni parallèles, ni sécantes.


Pour le parallélisme, étudiez la colinéarité des vecteurs directeurs des droites.


Pour l’intersection des droites, il faut résoudre un système.

Question 3

On considère le plan \((P)\) d'équation cartésienne \(4x+y+5z+3=0\).
Montrer que le plan \((P)\) contient la droite \((D)\).

La droite \((D)\) est l'ensemble des points de coordonnées \((1+2t;-2-3t;-1-t)\) avec \(t \in \mathbb{R}\).

Vérifions que ces points appartiennent au plan d'équation cartésienne : $4x+y+5z+3=0$
Pour tout réel \(t\) on a :
\(4(1+2t) + (-2-3t) + 5(-1-t) + 3 = 8t-3t-5t+4-2-5+3=0\)

L'équation du plan est vérifiée.

Donc tout point de la droite \((D)\) appartient au plan \((P)\) ou encore :
Le plan \((P)\) contient la droite \((D)\).

Remplacez \(x\) par \(1 + 2t\) dans l’équation du plan \((P)\). Faites de même pour \(y\) et \(z\).


Attention à la rédaction ! Evitez d’écrire \(0 = 0\).


Conclure.

Question 4

Montrer que le plan \((P)\) et la droite \((D')\) se coupent en un point \(C\) dont on précisera les coordonnées.

Soit \(M(2-k;1+2k;k)\), \(k \in \mathbb{R}\), un point de \((D')\).

\(M \in (P) \Leftrightarrow 4(2-k)+(1+2k) +5k+3=0\)

\(M \in (P) \Leftrightarrow 3k+12=0\)

\(M \in (P) \Leftrightarrow k=-4\)

Pour \(k=-4\), on obtient le point de \((D')\) de coordonnées \((6;-7;-4)\).
Ainsi le plan \((P)\) et la droite \((D')\) ont un point commun et un seul, le point \(C(6;-7;-4)\).
Le plan \((P)\) et la droite \((D')\) se coupent en \(C(6;-7;-4)\)

Il faut résoudre un système. Un oubli ? Voir la vidéo de rappel sur les résolutions d'équations.


Lorsque vous trouvez une valeur de \(k\), vous pouvez en déduire les coordonnées de \(C\).

Question 5

On considère la droite \((\Delta)\) passant par le point \(C\) et de vecteur directeur \(\overrightarrow{w}(1;1;-1)\).
Montrer que les droites \((\Delta)\) et \((D')\) sont perpendiculaires.

La droite \((D')\) est dirigée par le vecteur \(\overrightarrow{u'}(-1,2,1)\).
Or, \(\overrightarrow{u'}.\overrightarrow{w} = (-1) \times 1 +2 \times 1 + 1 \times (-1) = 0\)

Ainsi les droites \((\Delta)\) et \((D')\) sont orthogonales.
De plus les droites \((\Delta)\) et \((D')\) ont en commun le point \(C\) et finalement les droites \((\Delta)\) et \((D')\) sont perpendiculaires.

Les droites \((\Delta)\) et \((D')\) sont perpendiculaires.

Pensez aux vecteurs directeurs de ces deux droites.


Songez au produit scalaire. Deux vecteurs sont orthogonaux lorsque leur produit scalaire est nul.


Dans l’espace, deux droites perpendiculaires sont orthogonales et sécantes. Est-ce le cas ici ?

Question 6

Montrer que la droite \((\Delta)\) coupe perpendiculairement la droite \((D)\) en un point \(E\) dont on précisera les coordonnées.

La droite \((D)\) est dirigée par le vecteur \(\overrightarrow{u}(2,-3,-1)\).

Or: \(\overrightarrow{u'}.\overrightarrow{w} = 2 \times 1 +(-3) \times 1 + (-1) \times (-1) = 0\) et donc les droites \((\Delta)\) et \((D')\) sont orthogonales.
Etudions alors l'intersection des droites \((D)\) et \((\Delta)\).

\((\Delta)\) est la droite de représentation paramétrique : \(\left\{ \begin{array}{left} x = 6+t'\\ y = -7+t'\\ z = -4-t'\\ \end{array}\right. \) avec \(t' \in \mathbb{R}\).
Un point appartient aux deux droites si et seulement si :

\(\left\{ \begin{array}{left} 1+2t = 6+t'\\ -2-3t = -7+t'\\ -1-t = -4-t'\\ \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{left} t' = -3+t\\ 1+2t = 6 + (-3+t)\\ -2-3t = -7+(-3+t)\\ \end{array}\right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{left} t' = -3+t\\ t=2\\ t=2\\ \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{left} t=2\\ t'=-1\\ \end{array}\right.\)

Puisque le système précédent a une solution, les droites \((\Delta)\) et \((D)\) ont un point en commun et sont donc perpendiculaires.

De plus, pour \(t' = -1\), on obtient le point commun à savoir le point \(E\) de coordonnées \((5,-8,-3)\).
Les droites \((\Delta)\) et \((D)\) sont perpendiculaires en \(E(5,-8,-3)\)

A nouveau il convient de montrer que ces deux droites sont orthogonales en calculant le produit scalaire de deux de leurs vecteurs directeurs.


Montrez ensuite qu’elles sont sécantes en résolvant un système.