Cours Stage - Systèmes d'équations paramétriques de droite, équations cartésiennes de plan

Exercice - Équation paramétrique d'une droite

L'énoncé

On se place dans un repère orthonormé \((O ; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j}; \overrightarrow{k})\).


Question 1

Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((AB)\) avec : \(A (1 ; 2 ; -1)\) et \(B (-2 ; 4 ; 0 )\).

La droite \((AB)\) a pour vecteur directeur : \(\vec{AB}(-3 ; 2 ; 1)\) et elle passe par le point \(A(1 ; 2 ; 1) \)
On en déduit une représentation paramétrique de \((AB)\) : \(\left\{ \begin{array}{left} x=1-3t \\ y=2+2t \\ z=-1+t \end{array}\right.\;\;t\in\mathbb{R} \)

Pour commencer, vous devez trouver un vecteur directeur de la droite.


Vous n’avez pas le choix... Il n’y a que deux points.

Question 2

Les points suivants appartiennent-ils à la droite \((AB)\) ?

\(M_1 \left( -4 ; \dfrac{16}{3}; \dfrac{2}{3} \right)\)

\(M_2 \left( \dfrac{11}{5};\dfrac{6}{5};-\dfrac{8}{5}\right)\)

\(M_3\left( -\dfrac{3}{2};\dfrac{11}{3};-\dfrac{1}{6} \right)\)

Remplaçons les coordonnées de \(M_1\) dans le système.
Pour \(M_1\) le système devient :

\(\left\{ \begin{array}{left} -4=1-3t \\ \dfrac{16}{3}=2+2t \\ \dfrac{2}{3}=-1+t \end{array}\right.\;\Leftrightarrow\; \left\{ \begin{array}{left} t = \dfrac{5}{3} \\ t = \dfrac{5}{3} \\ t = \dfrac{5}{3} \end{array}\right. \) donc \(M_1\) appartient à \((AB)\).


Pour \(M_2\) le système devient :

\(\left\{ \begin{array}{left} \dfrac{11}{5}=1-3t \\ \dfrac{6}{5}=2+2t \\ -\dfrac{8}{5}=-1+t \end{array}\right.  \;\Leftrightarrow\; \left\{ \begin{array}{left} t = -\dfrac{2}{5} \\ t = -\dfrac{2}{5} \\ t = -\dfrac{3}{5} \end{array}\right. \) donc \(M_2\) n'appartient pas à \((AB)\).


Pour \(M_3\) le système devient :

\(\left\{ \begin{array}{left} -\dfrac{3}{2}=1-3t \\ \dfrac{11}{3}=2+2t \\ -\dfrac{1}{6}=-1+t \end{array}\right.  \;\Leftrightarrow\; \left\{ \begin{array}{left} t = \dfrac{5}{6} \\ t = \dfrac{5}{6} \\ t = \dfrac{5}{6} \end{array}\right. \) donc \(M_3\) appartient à \((AB)\).

Terminez cette phrase : « Un point appartient à une droite si et seulement si... ? »


Bravo ! La fin était bien « ses coordonnées vérifient les équations paramétriques de la droite. »

Question 3

On donne \(C(-2 ;0 ;1)\). Donner une représentation paramétrique de la droite \(\Delta\) passant par \(C\) et parallèle à la droite \((AB )\).

Dans l'espace deux droites sont parallèles lorsque deux de leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

Par simplicité, on choisit pour les deux droites le même vecteur directeur : \(\overrightarrow{AB}\left ( \begin{array}{ccc} -3 \\ 2\\ 1 \\ \end{array} \right ) \)
\(M\left (\begin{array}{ccc} x \\ y\\ z \\ \end{array} \right ) \in \Delta \Leftrightarrow \) Il existe \(t\) réel tel que \(\overrightarrow{CM} = t \times \overrightarrow{AB}\)
Ainsi l'équation paramétrique de \(\Delta\) est de la forme : \(\left\{ \begin{array}{left} x-xc=-3t \\ y-yc = 2t\\ z-zc = 1t \\ \end{array}\right. \; t\in \mathbb{R}\)
On a donc : \(\left\{ \begin{array}{left} x = -3t-2 \\ y = 2t\\ z = t+1 \\ \end{array}\right. \; t\in \mathbb{R}\)

A quelle condition deux droites de l’espace sont elles parallèles ?


Songez aux vecteurs directeurs de ces deux droites…


Vous n’avez plus qu’à ajouter la condition que \(C\) appartient à cette droite \(\Delta\).


La méthode est identique à celle utilisée à la question a).

Question 4

Les droites \((d)\) et \((d')\) sont données par les représentations paramétriques suivantes :
\((d)\) : \(\left\{ \begin{array}{left} x = 1+t \\ y = 3- t\\ z = -1+t\\ \end{array}\right. \) \(t \in \mathbb{R}\)   et   \((d')\) : \(\left\{ \begin{array}{left} x = 3+t' \\ y = 2 -2t'\\ z = m + 2t' \\ \end{array}\right. \) \(t' \in \mathbb{R}\)

Etudier suivant les valeurs du réel \(m\), l'intersection des droites \((d)\) et \((d')\).

Les vecteurs directeurs de \((d)\) et \((d')\) ne sont pas colinéaires donc les droites ne sont pas parallèles.

On pose le système : \(\left\{ \begin{array}{left} 1+t = 3+t' \\ 3-t = 2 -2t'\\ -1+t = m + 2t' \\ \end{array}\right. \)

On en déduit, en isolant \(t\) dans la première équation puis en substituant sa valeur dans les 2 autres :

\(\left\{ \begin{array}{left} t = 2+t' \\ 3-2-t' = 2 -2t'\\ -1+2+t' = m + 2t' \\ \end{array}\right. \)

Ainsi : \(\left\{ \begin{array}{left} t = 3 \\ t' = 1\\ m = 0 \\ \end{array}\right. \).

Si \(m \neq 0\) alors le système n'a pas de solution, les droites \((d)\) et \((d')\) n'ont pas d'intersection.
Si \(m = 0\) alors les droites \((d)\) et \((d)\) ont un point d'intersection de coordonnées \((4, 0 ; 2)\) correspondant à \(t = 3\) pour \((d)\) ou à \(t' = 1\) pour \((d')\).

Dans l’espace, il y a trois possibilités : deux droites sont soit sécantes (elles se coupent en un point unique), soit parallèles (attention : elles peuvent être confondues, c’est un cas particulier), soit non coplanaires.


On dit qu’un point appartient à l’intersection de deux droites s’il appartient simultanément aux deux droites.


Si il(s) existe(nt), le ou les points cherchés vérifient donc les deux équations.


Les valeurs de \(x\) de chaque système doivent donc être égales. De même pour \(y\) et \(z\).


Cette question appelle une discussion sur les valeurs de \(m\). Vous devez donc évoquer plusieurs cas (en général au moins deux, sinon point de discussion..) et conclure.