Cours Stage : déterminer un seuil ln(qn)=nln(q)ln⁡(qn)=nln⁡(q)\ln(q^n)=n\ln(q)

Exercice - Utiliser la relation $\ln(q^n) = n \ln q$

L'énoncé

Une association de lycéens décide de vendre des journaux au prix de 4,80€ par mois. Lors du lancement, l'association dispose de 50 clients. On suppose que chaque mois,  10% des anciens clients ne renouvellent pas leur abonnement mais que 18 nouveaux clients souscrivent au service. 
On modélise par une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ le nombre de clients dont dispose l'association au bout du $n$-ième mois.


Question 1

Calculer $u_0$ et $u_1$. 

$u_0$ correspond au nombre de clients au lancement du service, c'est à dire 50. Donc $u_0 = 50$. 
AU bout d'un mois, l'association perd 10% de ses précédents clients, il lui reste donc $0.90 \times 50 = 45$. Elle gagne en outre $18$ nouveaux clients. Ainsi, $u_1 = 0.9\times u_0 + 18 = 45 + 18 =63$

On se rappellera que perdre 10% revient à multiplier par 0.9

Question 2

Soit $n \in \mathbb{N}$,
Déterminer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. 

Soit $n \in \mathbb{N}$,
Au mois $n+1$, l'association perd 10% de son nombre de clients du mois précédents et gagne 18 nouveaux clients. 
Ainsi, $u_{n+1} = 0.9u_n + 18$

On utilisera la méthode de calcul de la question précédente.

Question 3

Montrer que la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - 180$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. 

Soit $n \in \mathbb{N}$,
$v_{n+1} = u_{n+1}-180 = 0.9u_n + 18 - 180 = 0.9(u_n -180) = 0.9v_n$
$(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $0.9$ et de premier terme $v_0 = u_0-180 = -130$

On pourra exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$

Question 4

En déduire l'expression $u_n$ en fonction de $n$.

Soit $n \in \mathbb{N}$,
$v_n = u_n - 180$
$\iff -130\times 0.9^n = u_n - 180$
$\iff u_n = -130\times 0.9^n  +180$

On utilisera la question précédente. 

Question 5

Au bout de combien de mois l'association dispose de plus de 100 clients ? 

Soit $n \in \mathbb{N}$,
$u_n \geq 100$
$\iff -130\times 0.9^n  +180 \geq 100$
$\iff -130\times 0.9^n \geq -80$
$\iff 0.9^n \leq \dfrac{80}{130}$
$\iff n \ln 0.9 \leq \ln \dfrac{8}{13}$
Or $0.9 < 1$ donc $\ln 0.9 < 0$
$u_n \geq 100$
$\iff n \geq \dfrac{\ln \dfrac{8}{13}}{\ln 0.9}$
Or $\dfrac{\ln \dfrac{8}{13}}{\ln 0.9} \approx 4.61$ et $n \in \mathbb{N}$
Finalement, $u_n \geq 100 \iff n \geq 5$

On utilisera la relation $\ln q^n = n \ln q$ pour tout $q \in ]0; + \infty[$ et $n \in \mathbb{N}$

Question 6

Vers quelle valeur tend la recette mensuel de l'association ? 

On sait qu'un abonnement mensuel coute 4,80€. On doit donc déterminer vers quel nombre tend le nombre total de clients.
Comme $0.9 < 1$, alors $\lim \limits_{n \to +\infty} 0.9^n = 0$
Ainsi, $\lim \limits_{n \to +\infty} -130\times0.9^n = 0$ par produit de limites.
Finalement, $\lim \limits_{n \to +\infty} -130\times0.9^n + 180 = 180$ par somme de limites. 
Le nombre total de clients tend donc vers 180.
Ainsi, la recette mensuelle tend vers $180 \times 4,80 = 864$ € 

On pourra tout d'abord calculer $\lim \limits_{n \to +\infty} u_n$...


... puis relire l'énoncé initial.