Cours Stage - Opérations sur les matrices, matrice inverse

Matrice inverse

Accède gratuitement à cette vidéo pendant 7 jours Profite de ce cours et de tout le programme de ta classe avec l'essai gratuit de 7 jours !

Fiche de cours

Matrice inverse

 

Définition

 

Soit $A$ une matrice carrée d'ordre $n$. On note $ I_n$ la matrice unité d'ordre $n$.

S'il existe une matrice $B$ tel que :

$A \times B= B \times A= I_n$,

Alors $A$ est inversible et sa matrice inverse est $B=A^{-1}$.

 

Propriété

 

 Soit $A =\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d\\
\end{pmatrix}$ une matrice carré d'ordre $2$


Si $ad-bc \neq 0$ alors $A$ est inversible et sa matrice inverse $A^{-1}$ vaut :

$A^{-1} =  \displaystyle\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix}
d & -b \\
-c & a\\
\end{pmatrix}$

 

Exemple

Soit $M =\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
3 & 1\\
\end{pmatrix}$. 

Vérifier que $M$ est inversible et déterminer sa matrice inverse.


Correction

On calcule : 

$ad-bc = 2 \times 1 - (-1)\times3 =5$

$ad-bc \neq 0$   $M$ est donc inversible. 

Déterminons sa matrice inverse $M^{-1}$

On a:

$M^{-1} =  \displaystyle\frac{1}{5}\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
-3 & 2\\
\end{pmatrix}$    $\iff$    $M^{-1} = \begin{pmatrix}
\dfrac{1}{5} & \dfrac{1}{5} \\[0.5cm]
-\dfrac{3}{5}

Il reste 70% de cette fiche de cours à lire
Cette fiche de cours est réservée uniquement à nos abonnés. N'attends pas pour en profiter, abonne-toi sur lesbonsprofs.com. Tu pourras en plus accéder à l'intégralité des rappels de cours en vidéo ainsi qu'à des QCM et des exercices d'entraînement avec corrigé en texte et en vidéo.