Cours Stage - Opérations sur les matrices, matrice inverse
QCM
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L'énoncé

Donne la bonne réponse en justifiant ta démarche.

Soit \(A\) la matrice suivante : \(\begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 1 & -2\end{pmatrix}\)

Tu as obtenu le score de


Question 1

La matrice \(A\) a pour déterminant :

-13
0
6
-7
Savez-vous calculer le déterminant d’une matrice ? Sinon, c’est une formule à apprendre par cœur ! Revoyez la vidéo de rappel.
\(D = 5 \times (-2) - 3 \times 1\)
\(D = -10 - 3\)
\(D= -13\)

Question 2

La matrice \(A\) est-elle inversible ?

Oui
Non
Ca dépend.
On ne sait pas.
À quelle condition une matrice est inversible ? Pensez à la question précédente.
En cas de doute, revoyez la vidéo de rappel sur l'inversibilité.
Le déterminant de \(A\) n’est pas nul donc \(A\) est inversible.

Question 3

L'inverse de \(A\) est :

\(-\dfrac{1}{13} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -5 \end{pmatrix}\)
\(\dfrac{1}{13} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -5 \end{pmatrix}\)
\(-\dfrac{1}{13} \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}\)
A n'est pas inversible.
Là, il suffit d’appliquer le cours. À condition d’avoir bien répondu aux questions précédentes !
L’inverse d’une matrice est définie dans la vidéo de rappel.
\(A\) étant inversible, son inverse est : \(A^{-1} = \dfrac{1}{13} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -5 \end{pmatrix}\) .

Question 4

Le système \(AX = Y\), où \(X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) et \(Y = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) a pour solution :

\(X = \dfrac{1}{13} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)
\(X = \dfrac{1}{13} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\)
\(X = \dfrac{1}{13} \begin{pmatrix} 3 \\ -5 \end{pmatrix}\)
\(X = \emptyset \)
Savez-vous résoudre un système matriciel ? Il faut connaître la démarche ; en cas de doute revoyez la vidéo de rappel sur cette notion.
Le système a pour solution \(X = A^{-1}Y = \dfrac{1}{13} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\).

Question 5

Le système \(IX = Y\), où \(X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) et \(Y = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) et \(I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\) a pour solution :

\(X = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)
\(X = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)
\(X = -1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)
Le système n'a pas de solution.
Réfléchissez ! Ici, vous n'avez pas besoin de résoudre le système…
\(I\) est la matrice identité, donc \(IX=…\)
\(IX=X\) ! Le résultat est alors évident.
Le système a pour solution : \(X = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). En effet, \(IX=X\), donc \(X=Y\) !