Cours Stage - Matrices et systèmes linéaires
Exercice d'application

Exercice : Suite de matrices

On étudie l’évolution dans le temps du nombre de jeunes et d’adultes dans une population d’animaux.

Pour tout entier naturel $n$, on note $ j_n$ le nombre d’animaux jeunes après $n$ années d’observation et $a_n$ le nombre d’animaux adultes après $n$ années d’observation.

Il y a au début de la première année de l’étude, 200 animaux jeunes et 500 animaux adultes.

Ainsi $ j_0= 200$ et  $a_0 = 500$.

On admet que pour tout entier naturel $n$ on a : $\begin{cases} j_{n+1}=0,125j_n+0,525a_n \\ a_{n+1}=0,625j_n+0,625a_n      \end{cases}$.

On introduit les matrices suivantes :  $A=\begin{pmatrix} 0,125 & 0,525 \\ 0,625 & 0,625 \end{pmatrix} $ et,

Pour tout entier naturel $n$, $ U_n=\begin{pmatrix} j_n \\ a_n \end{pmatrix}$.

 

1)  a) Montrer que pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1}= A \times U_n$

     b) Calculer le nombre d’animaux jeunes et d’animaux adultes après un an d’observation puis après deux ans d’observation (résultats arrondis à l’unité près par défaut).

     c) Pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer $U_n$ en fonction de $A_n$ et de $U_0$.

 

2) On introduit les matrices suivantes $Q =\begin{pmatrix} 7 & 3\\ -5 & 5 \end{pmatrix}$  et $D =\begin{pmatrix} -0,25 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$  

     a) On admet que la matrice $Q$ est inversible et que. $Q^{-1} =\begin{pmatrix} 0,1 & -0,06\\ 0,1 & 0,14 \end{pmatrix}$

        Montrer que $Q \times D \times Q^{-1} = A$

     b) Montrer par récurrence sur $n$ que pour tout entier naturel $n$ non nul : $A^n = Q \times D^n \times Q^{-1}$

     c) Pour tout entier naturel $n$ non nul, déterminer $ D^n$ en fonction de $n$.

 

3) On admet que pour tout entier naturel $n$ non nul, $A^n =\begin{pmatrix} 0,3+0,7 \times (-0,25)^n & 0,42-0,42 \times (-0,25)^n \\ 0,5-0,5 \times (-0,25)^n & 0,7+0,3 \times (-0,25)^n \end{pmatrix}$  

      a) En déduire les expressions de $j_n$ et $a_n$ en fonction de $n$ et déterminer les limites de ces deux suites.

      b) Que peut-on en conclure pour la population d’animaux étudiée ?

1) a) On a $A \times U_n= \begin{pmatrix} 0,125j_n+0,525a_n \\ 0,625j_n+0,625a_n   \end{pmatrix} = U_{n+1}$

 

b) $U_1=A \times U_0= \begin{pmatrix} 0,125 & 0,525  \\ 0,625 & 0,625  \end{pmatrix}  \times \begin{pmatrix} 200 \\ 500  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25+262,5 \\ 125+312,5  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 287,5 \\ 437,5  \end{pmatrix} $

A la fin de la première année, il y aura 287 jeunes et 437 adultes (résultats arrondis à l’unité par défaut).

$U_2=A \times U_1= \begin{pmatrix} 0.125 & 0.525  \\ 0.625 & 0.625  \end{pmatrix}  \times \begin{pmatrix} 287,5 \\ 437,5  \end{pmatrix}  = \begin{pmatrix} 35,9375+229,688 \\ 179,688+273,438  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 265,625 \\ 453,125  \end{pmatrix} $

Au bout de deux ans, il y aura 265 jeunes et 453 adultes.

 

c) Fonction de $A_n$ et de $U_0$, une récurrence simple permet de montrer que pour tout entier naturel $n$, $U_n=A_n \times U_0$

 

2) a) $Q \times D=  \begin{pmatrix} -1,75 & 3 \\ 1,25&5 \end{pmatrix}$ , puis

$(Q \times D) \times Q^{-1}= \begin{pmatrix} -0,175+ 0,3 & 0,105+0,42\\ 0,125+0,5&-0,075+0,7  \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0,125 & 0,525 \\ 0,625&0,625  \end{pmatrix} = A$.

 

b) Initialisation : $A^1=  Q \times D^1 \times Q^{-1}$ (d’après la question précédente).

Hérédité : Supposons qu’il existe un entier $p$ tel que $A^p=  Q \times D^p \times Q^{-1}$

Alors $A^{p+1}= A^p \times A = (Q \times D^p \times Q^{-1}) \times (Q \times D^1 \times Q^{-1}) $

$A^{p+1}= Q \times D^p \times (Q^{-1} \times Q) \times D^{1} \times Q^{-1} $

$A^{p+1}= Q \times D^p \times l \times  D^{1} \times Q^{-1}  $

$A^{p+1}= Q \times D^{p+1} \times Q^{-1}  $

La formule est vraie au rang $p+1$.

D’après le raisonnement par récurrence, on a bien pour tout entier naturel $n$ non nul : $A^p=  Q \times D^p \times Q^{-1}$

 

c) La matrice D est diagonale, donc

$D^{n}= \begin{pmatrix} -0,25 & 0\\ 0& 1 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} (- 0,25)^n & 0\\ 0& 1 \end{pmatrix} $.

 

3) a) Quel que soit l’entier naturel $n$ : 

$U_n = A^n \times U_0 $

$U_n= \begin{pmatrix} 0,3+ 0,7 \times (- 0,25)^n & 0,42+0,42 \times (- 0,25)^n \\ 0,5+ 0,5 \times (- 0,25)^n & 0,3+ 0,7 \times (- 0,25)^n  \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 200 \\ 500  \end{pmatrix}$

$U_n= \begin{pmatrix} 60 + 140 \times (- 0,25)^n +210 -210 \times ( - 0,25)^n \\ 100 -100 \times (-0,25)^n+ 350+ 150  \times (- 0,25)^n \end{pmatrix} $

$U_n= \begin{pmatrix} 270 - 70 \times (- 0,25)^n \\ 450 +50 \times (-0,25)^n \end{pmatrix}$.

Conclusion, $j_n = 270 – 70 \times (- 0,25)^n \\ a_n = 450 +50 \times (- 0,25)^n  $.

 

b) Comme $-1< -0,25< 1$ , on a : $\lim_\limits{n \to +\infty} (-0,25)^n = 0 $,

Ainsi : $\lim_\limits{n \to +\infty} a_n = 450 $ et $\lim_\limits{n \to +\infty} j_n = 270 $.

Au bout de plusieurs années, le nombre de jeunes animaux va tendre vers 270 et celui d’animaux adultes vers 450.