Cours Stage - Graphes
Exercice d'application

Exercice : Courir ou ne pas courir ? - Annale BAC 2016

Afin de se préparer à courir des marathons, Hugo aimerait effectuer quotidiennement un footing à compter du 1er janvier 2014.

On admet que :
Si Hugo court un jour donné, la probabilité qu'il ne coure pas le lendemain est de $0,2$
S'il ne court pas un jour donné, la probabilité qu'il ne coure pas le lendemain est de $0,4$

On note $C$ l'état "Hugo court" et $R$ l'état "Hugo ne court pas ".

Pour tout entier naturel $n$, on note :
$c_n$ la probabilité de l'événement "Hugo court le $(n + 1)$-ième jour"
$r_n$ la probabilité de l'événement "Hugo ne court pas le $(n+1)$-ième jour"
$P_n$ la matrice $(c_n \; \; r_n)$ correspondant à l'état probabilité le $(n+1)$-ième jour.

Le 1er janvier 2014, motivé, le jeune homme court.

On a donc : $P_0 = (c_0 \; \; r_0) = (1 \;\; 0)$

 

1) Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste de sommets $C$ et $R$.

 

2) Écrire la matrice de transition $M$ de ce graphe en respectant l'ordre alphabétique des sommets.

 

3) On donne $M^6 = \begin{pmatrix}{0,750016}&{0,249984} \\ {0,749952} & {0,250048} \end{pmatrix}$

Quel calcul matriciel permet de déterminer la probabilité $c_6$ qu'Hugo coure le 7e jour ?

Déterminer une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $c_6$.

 

4) A) Exprimer $P_{n+1}$ en fonction de $P_n$.

B) Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $c_{n+1} = 0,2 c_n + 0,6$.

 

5) Pour tout entier naturel $n$, on considère la suite $(v_n)$ définie par $v_n = c_n - 0,75$.

A) Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $0,2$. Préciser le premier terme.

B) Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.

Déterminer la limite de la suite $(v_n)$.

C) Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $c_n = 0,75 + 0,25 \times 0,2 ^n$.

D) Que peut-on conjecturer concernant la probabilité qu'Hugo coure le 29 décembre 2014 ?

E) Conjecturer alors l'état stable de ce graphe.

Comment valider votre conjecture ?