Cours Stage - Chaîne de Markov, distribution
QCM
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L'énoncé

Répondre aux questions suivantes.


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Question 1

Les chaînes de Markov sont utilisées uniquement en Mathématiques.

Vrai

Faux

Elles sont utilisées en physique, en biologie, en économie pour prédire le futur. 

Question 2

A quoi servent les chaînes de Markov ? 

On se le demande encore.

A prédire et estimer l'évolution d'une situation.

Elles permettent d'estimer et de prédire le futur d'une situation.

Il s'agit d'une règle de dérivation pour les fonctions composées.

Question 3

Que désigne la probabilité $p_{ij}$ ? 

La probabilité de passer de l'état $i$ à l'état $j$.

Elle se situe à l'intersection de la ligne $i$ avec la ligne $j$.

La probabilité de passer de l'état $j$ à l'état $i$.

Il s'agit du produit de $p_i$ par $p_j$. 

Question 4

Où se situe la probabilité $p_{ij}$ dans la matrice de transition ?

A l'intersection de la $i$ ème colonne et de la $j$ ème ligne.

A l'intersection de la $i$ ème ligne et de la $j$ ème colonne.

C'est en effet la manière dont est construite la matrice de transition.

Question 5

Que désigne la probabilité $p_{ij}^{(n)}$ ? 

De passer $n$ fois de l'état $i$ à l'état $j$. 

De passer en $n$ étapes de l'état $i$ à l'état $j$. 

C'est une définition.

C'est simplement $p_{ij}$ à la puissance $n$. 

Question 6

Comment note-on la matrice de l'état initial ? 

$\Pi_0$

Il s'agit d'une matrice ligne.

$P_0$

$P^{(0)}$

Question 7

Quelle est la relation entre $\Pi_{n+1}$ et $\Pi_n$ ? 

$\Pi_{n+1} = P \Pi_n$

Il n'est pas possible d'effectuer le produit d'une matrice carrée par une matrice ligne dans cet ordre. 

$\Pi_{n+1} = \Pi_n P$

La matrice de transition permet de passer d'un état au suivant.

$\Pi_{n+1} = \Pi_n p_{ij}$

Question 8

Comment peut-on calculer $\Pi_n$ ? 

$\Pi_n = \Pi_0 P^n$

On utilise pour démontrer cette propriété la formule de la question précédente. On a définit en effet une suite par récurrence. 

$\Pi_n = P^n \Pi_0 $

$\Pi_n = P_n \Pi_0 $

Question 9

Si $P^n$ converge, quelle relation la distribution de probabilité $\Pi$ vérifie ?

$\Pi = P$

$\Pi = \Pi P^n$

$\Pi = \Pi P$

La distribution de probabilité $\Pi$ est stationnaire et on peut calculer sa valeur par la relation $\Pi = \Pi P$, qui correspond à la limite de $\Pi_n$ pour $n$ grand.

Question 10

La distribution de probabilité $\Pi$ dépend de l'état initial.

Vrai

Faux

En effet, $\Pi$ est défini par la formule $\Pi = \Pi P$ et ne dépend donc que de $P$. On ne voit ainsi par intervenir $\Pi_0$.