Terminale > Mathématiques > Calcul intégral > Intégrale d'une fonction continue
Accède gratuitement à cette vidéo pendant 7 jours
Profite de ce cours et de tout le programme de ta classe avec l'essai gratuit de 7 jours !
Soit (O,$\overrightarrow {i}$,$\overrightarrow {j}$) un repère orthonormé et une fonction $f$ continue et positive sur un intervalle $[a,b]$.
$\mathcal{D}$ est le domaine du plan délimité par $x$=$a$ , $x$=$b$, l'axe des abscisses et $\mathcal{C}_f$, la courbe représentative de la fonction $f$.
L'intégrale de $f$ sur $[a,b]$ notée $ \displaystyle \int \limits_a^b f (t)dt$ est l'aire $\mathcal{A}$ du domaine $\mathcal{D}$ exprimée en unités d'aire.
Exemple
Calculer $I = \displaystyle \int_{1}^4 x dx = \int_{1}^4 t dt$ ($x$ et $t$ sont des variables muettes).
Etape 1 : On repère l'aire recherchée.
Etape 2 : On remarque qu'il s'agit d'un trapèze rectangle.
Etape 3 : La formule du calcul d'aire du trapèze rectangle est connue. On peut l'utiliser pour calculer l'intégrale :
$ A = \dfrac{(B + b) \times h}{2}$
$ A = \dfrac{5 \times 3}{2}$
Finalement, $I = \dfrac{15}{2}$ (exprimée en unité d'aire)
Le signe d'une aire est toujours positif en revanche celui d'une intégrale va dépendre de la position de la courbe par rapport à l'axe des abscisses.
Ainsi, on pourrait avoir $I$:
$I= \displaystyle \int \limits_a^b f (t)dt=- \mathcal {A}_1+ \mathcal {A}_2-\mathcal {A}_3+\mathcal {A}_4$
Les $ \mathcal A_{i}$ sont les aires respectives des quatre domaines representés sur le graphique.
Exemple
Voici comment représenter: $\displaystyle \int \limits_0^{1,5} (x^2 -1)dx$
$I = \displaystyle \int \limits_0^{1,5} (x^2 -1)dx =- \mathcal {A}_1+ \mathcal {A}_2$
Cette fiche de cours est réservée uniquement à nos abonnés. N'attends pas pour en profiter, abonne-toi sur lesbonsprofs.com. Tu pourras en plus accéder à l'intégralité des rappels de cours en vidéo ainsi qu'à des QCM et des exercices d'entraînement avec corrigé en texte et en vidéo.