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INTÉGRALE D'UNE FONCTION CONTINUE

Exercice - Intégrales et calcul d'aire



L'énoncé

Soit la fonction définie sur l'intervalle \(I = \left]4 ; +\infty \right[\) par :
\(f(x)=-2x+5+3\ln\left(\dfrac{x+1}{x-4}\right)\) et \((C_f)\) sa courbe représentative dans le repère orthonormal \((O ; \vec{i}, \vec{j} )\).


  • Question 1

    Étude de \(f\)
    Étudier les limites de la fonction \(f\) aux bornes de \(I\).

  • Question 2

    Montrer que sur \(I\), \(f '(x)\) est strictement négative et donnez les variations de \(f\).

  • Question 3

    Une primitive de la fonction \(x \rightarrow \ln (x)\) est : \(x\ln(x)-x\).
    Montrer que sur \(I\), la fonction \(g : x \mapsto \ln (x + 1)\) admet pour primitive la fonction :

    \(G(x)= (x + 1) \ln (x + 1) - x\)

  • Question 4

    Montrer que sur \(I\), la fonction \(h : x \mapsto \ln (x - 4)\) admet pour primitive la fonction

    \(H (x)= (x - 4) \ln(x - 4) - x\)

  • Question 5

    Déduire des questions précédentes le calcul de l'aire \(A\) du domaine plan délimité par la courbe \((C_f)\), la droite \((D)\) d'équation \(y = - 2x + 5\) et les droites d'équations respectives \(x = 5\) et \(x = 6\).
    On donnera la valeur exacte de \(A\) puis une valeur approchée à \(10^{-2}\) près.

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