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INTÉGRALE D'UNE FONCTION CONTINUE

Exercice - Intégrales



L'énoncé

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^2e^{1-x}\)

On désigne par \(C\) sa courbe représentative dans un repère orthonormal \((O ; \vec{i} ; \vec{j})\).


  • Question 1

    Déterminer les limites de \(f\) au voisinage de \(-\infty\) et de \(+\infty\) ; quelles conséquences graphique pour \(C\) peut-on en tirer ?

  • Question 2

    Justifier que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\). Déterminer sa fonction dérivée \(f \).

  • Question 3

    Dresser le tableau de variations de \(f\) et tracer la courbe \(C\).

  • Question 4

    Soit \(n\) un entier naturel non nul. On considère l'intégrale \(I_n\) définie par \(I_n=\displaystyle\int_0^1 x^ne^{1-x}\,dx\)

    On admet que : \(I_{n+1} = -1 +(n+1)I_n \) et on donne \(I_{1}=e-2 \)

    Calculer \(I_2\).

  • Question 5

    Donner une interprétation graphique du nombre \(I_2\). On la fera apparaître sur le graphique construit lors de la question 3.

  • Question 6

    Démontrer que pour tout nombre réel \(x\) de \(\left[0 ; 1\right]\) et pour tout entier naturel \(n\) non nul, on a l'inégalité suivante :

    \(x^n \leq x^ne^{1-x} \leq x^ne\)

  • Question 7

    En déduire un encadrement de \(I_n\) puis la limite de \(I_n\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\).

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