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VALEUR MOYENNE

Exercice - Fonction définie par une intégrale



L'énoncé

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\left[1 ; +\infty\right[\) par \(f(x)=\dfrac{x}{e^x-1}\)

Et soit \(H\) la fonction définie sur \(\left[1 ; +\infty\right[\) par \(H(x)=\displaystyle\int_1^x\, f(t)dt\)


  • Question 1

    Justifier que \(f\) et \(H\) sont bien définies sur \(\left[1 ; +\infty\right[\).

  • Question 2

    Quelle relation existe-t-il entre \(H\) et \(f\) ?

  • Question 3

    Soit C la courbe représentative de \(f\) dans un repère \(( O ; \vec{i}, \vec{j} )\) du plan.
    Interpréter en termes d'aire le nombre \(H( 3 )\).

  • Question 4

    On se propose, dans cette question, de donner un encadrement du nombre \(H( 3 )\).
    Montrer que pour tout réel \(x > 0\), \(\dfrac{x}{e^x-1}=x\times \dfrac{e^{-x}}{1-e^{-x}}\)

  • Question 5

    Montrer que si \(1 \leq x \leq 3\), alors :

    \(\ln \left(1-\dfrac{1}{e}\right)\leq \ln(1-e^{-x}) \leq \ln \left(1-\dfrac{1}{e^3}\right)\)

  • Question 6

    En déduire un encadrement de \(\displaystyle \int_1^3 \ln(1-e^{-x})dx\)  puis de \(\displaystyle \int_1^3 f(x)dx\)  

    On admettra que : \(\displaystyle \int_1^3 f(x) dx = 3\ln\left(1-\dfrac{1}{e^3}\right)-\ln \left(1-\dfrac{1}{e}\right)-\displaystyle \int_1^3 \ln(1-e^{-x}) \,dx\)

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