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L'INCONTOURNABLE DU CHAPITRE

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Étude de la fonction sinus

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Etude de la fonction sinus

 

Domaine de définition et dérivée

 

La fonction sinus est définie sur $\mathbb{R}$.

Elle est impaire (pour tout $x\in\mathbb{R}, \sin(-x)=-\sin(x)$) et $2\pi$-périodique (pour tout $x\in\mathbb{R}, \sin(x+2\pi)=\sin(x)$) ce qui permet de restreindre son étude à $[0,\pi]$.

Son domaine de dérivabilité est $\mathbb{R}$ et pour tout $x\in\mathbb{R}, \sin'(x)=\cos(x)$.

 

Variations sur $[0,\pi]$

 

Pour étudier les variations de la fonction sinus, on étudie le signe de sa dérivée c'est-à-dire le signe de $\cos(x)$ sur $[0,\pi]$.

variations_sinus

Représentation graphique

 

Courbe représentative de la fonction sinus obtenue avec les propriétés de parité et de périodicité de la fonction :

sinus-graphique

 

Propriétés algébriques et autres formules

 

Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$.

Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $\sin(2x)=2\cos(x)\sin(x)$ 

Pour tous $a,b$ réels, $\sin(a+b)=\cos(a)\sin(b)+\cos(b)\sin(a)$.

Formule d'Euler : $\sin(\theta)= \dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$.

$\sin(-x)=-\sin(x)$

$\sin(x+\pi)= -\sin(x)$

$\sin(\frac{\pi}{2}-x)= \cos(x)$