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STAGE - ÉTUDES DE FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES

Exercice - Étude d'une fonction trigonométrique



L'énoncé

On considère la fonction \(f\) définie sur \([-\pi,\pi]\) par :

\(f(x)=\dfrac{1}{2} \cos(2x)-\cos(x)\)

On note \(C_f\) sa courbe représentative dans un repère \((O,\vec{i},\vec{j})\) .


  • Question 1

    Démontrer que \(f\) est paire. En déduire que la courbe possède un élément de symétrie.
    Dans la suite de l'exercice on mènera donc l'étude sur l'intervalle \(D=[0;\pi]\) .

  • Question 2

    Vérifier que la dérivée de \(f\) peut s'écrire : \(f'(x)=\sin(x)(1-2\cos(x))\).

  • Question 3

    Donner les équations des tangentes à \(C_f\) au point d'abscisse $0$ et \(\dfrac{\pi}{3}\).

  • Question 4

    Etudier le signe de \(f'(x)\) sur \(D=[0;\pi]\), puis en déduire le sens de variations de \(f\) sur \([0;\pi]\).

  • Question 5

    Construire le tableau de variations de f sur \([0;\pi]\).

  • Question 6

    Montrer que l'équation \(f(x)=0\) possède une unique solution \(\alpha\) sur \([0;\pi]\).

    Préciser un encadrement de \(\alpha\) à \(10^{-2}\) près.

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