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STAGE - CHAÎNE DE MARKOV, DISTRIBUTION

Exercice - Chaîne de Markov - Distribution invariante



L'énoncé

Répondre aux questions suivantes


  • Question 1

    Qu'est ce qu'un état stationnaire et comment le définit-on ? 

  • Question 2

    On dispose de deux boites $A$ et $B$, de deux boules noires et de deux boules rouges. On place initialement deux boules dans chaque boite au hasard.
    On répète plusieurs fois la situation suivante : on tire une boule de l’urne $A$, on tire une boule de l’urne $B$ et on place les deux boules dans l’autre urne (on procède ainsi à un échange).

    On note $X_n$ le nombre de boules noires présentes dans la boite noire à l'instant $n$.

    Combien y a t il de répartitions possibles initialement ? 

  • Question 3

    Donner $\Pi_0 = \left ( \begin{array}{ccc} P(X_0 = 0) & P(X_0 = 1) & P(X_0 = 2) \end{array} \right )$

  • Question 4

    Donner le graphe des états et la matrice de transition de la chaîne de Markov $\Pi_n = \left ( \begin{array}{ccc} P(X_n = 0) & P(X_n = 1) & P(X_n = 2) \end{array} \right )$.  

    On note $0$ l'état où la boite $A$ contient $0$ boule noire.
    On note $1$ l'état où la boite $A$ contient $1$ boule noire.
    On note $2$ l'état où la boite $A$ contient $2$ boules noires.

  • Question 5

    Conjecturer la limite de $P^n$ lorsque $n$ tend vers l'infini.

  • Question 6

    Montrer que $\Pi_n$ converge vers $\Pi$ que l'on déterminera. 

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