ANNALE - NOMBRES COMPLEXES ET GÉOMÉTRIE

Module et argument

Module

On considère un nombre complexe $z=a+ib$ et on note $M$ le point du plan complexe d'affixe $z$.

On définit le module de $z$ (qu'on note $|z|$) par la distance du point $M$ au point d'origine $O$.

On a alors la formule suivante :

$|z|=OM =\sqrt{a^2+b^2}$

Argument

On note $\vec{u}$ le vecteur directeur de norme $1$ de l'axe des réels.

On définit alors l'argument d'un nombre complexe $z=a+ib$ (affixe du point $M$ dans le plan complexe) l'angle formé par le vecteur $\overrightarrow{u}$ et le vecteur $\overrightarrow{OM}$.

On écrit alors :

$ \operatorname{arg} (z) = (\overrightarrow{u}, \overrightarrow{OM} ) ~ [2\pi]$

En notant $\theta = \operatorname{arg}(z)~ [2\pi]$ alors on a les égalités suivantes :

• $\cos(\theta)=\dfrac{a}{|z|}$
• $\sin(\theta)=\dfrac{b}{|z|}$

Illustration graphique

L'angle $\theta$ est ici un argument de $z$ : $\operatorname{arg}(z)=\theta ~ [2\pi]$.

Exemple

Calculer le module et un argument de $z_1=1+i$ et $z_2=4-4i$.

$z_1$ s'Ècrit : $z_1=a_1+ib_1$ avec $a_1=1$ et $b_1=1$ donc

$|z_1|=\sqrt{a_1^2+b_1^2}= \sqrt2$.

On note $\operatorname{arg}(z_1)=\theta_1 ~ [2\pi]$.

On a :

$\cos(\theta_1)=\dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}$ et $\sin(\theta_1)$

$\cos(\theta_1)= \dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}$.

Conclusion : $\theta_1=\dfrac{\pi}{4}~ [2\pi]$.

$z_2$ s'écrit : $z_2=a_2+ib_2$ avec $a_2=4$ et $b_2=-4$ donc

$|z_2|=\sqrt{a_2^2+b_2^2}=$

$|z_2|=\sqrt{16+16}=4\sqrt{2}$.

On note $\operatorname{arg}(z_2)=\theta_2 ~ [2\pi]$.

On a :

• $\cos(\theta_2)=\dfrac{4}{4\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt2}{2} $ 
• $\sin(\theta_2)= \dfrac{-4}{4\sqrt{2}}=-\dfrac{\sqrt2}{2}$.

Conclusion : $\theta_2=-\dfrac{\pi}{4}~ [2\pi]$.